微分方程式の基礎 超初心者向け-①微分方程式とは

微分方程式の基礎-超初心者向け-微分方程式とは 学問・技術
物理苦手君
物理勉強してたら微分方程式がいっぱい出てきたんだけど、わけわかんない!
はなたか
大学レベルの物理は微分方程式がたくさん出てくるからねぇ。避けては通れない数学だから、基礎からきっちり解説するね。

本記事では微分方程式の基礎について解説します。

大学で初めて習って『なんじゃこりゃ??』って思った人も多いのではないでしょうか?

初心者向けにわかりやすく解説します。

本記事をおススメする人
  • 微分方程式アレルギーの人
  • 1から微分方程式の勉強をしたい人

微分方程式と普通の方程式の違い

微分方程式は、 そもそも普通の方程式と求める解が違います

微分方程式と普通の方程式の違い
  • 微分方程式:解となる関数を見つける方程式
  • 普通の方程式:解となる数字を見つける方程式

微分方程式の例として、下記をあげてみます。

$$\frac{dy}{dx} = y $$

この式を満たす、 関数のyを求めるのが微分方程式です。

一方で普通の方程式の例として、

$$x^2-2x+1 = 0$$

この方程式の解は、数字で求まりますね?

解は因数分解すると$(x-1)^2 =0$ なので$x=1$です。

これが微分方程式と普通の方程式の違いです。

微分方程式の解き方

$$\frac{dy}{dx} = y $$

この式を解く前に、微分方程式には解が2種類ありますので、それを説明します。

そのあとに実際に解いてみましょう。

微分方程式の解の種類

よく微分方程式の解を求めるにあたって、下記の2種類の解を使い分けます。

微分方程式の解の種類
  1. 一般解:初期条件なしの解
  2. 特殊解 (特解):とある初期条件を設定したときの解

どういうこと?って感じた人もいらっしゃると思いますので、例の微分方程式を解きます。

$$\frac{dy}{dx} = y $$

これを満たすyですが、勘が良い人はわかるかもしれません。

yをxで微分したらyになる関数、つまり、微分してもな~んにも変わらない関数です。

答えは$y=e^x$です!

と、答えたあなた。これは特殊解です。

$y=2e^x$も$y=5e^x$も$y=100e^x$も微分したら元の式になりますね?

なので、とある定数をCとすると、

$$y=Ce^x$$

これが一般解です。

一般解は、定数Cが含まれた関数で書かれます。

なので、この微分方程式を満たす関数yはCの数だけ関数があるんですね。

さきほど、$y=e^x$は特殊解だ!と書きましたが、これは一般解で$C=1$のときの解ですね。

初期条件としては、x=0のとき、y=1という初期条件を与えると、

$$1 = C e^0$$

$e^0$なので$C=1$です。

超基礎-よく使う微分

数学とはいえ、覚えることは多少あります。

微分方程式の最初のステップとして、少なくともこれら3パターンは必ず覚えましょう。

覚えるべき基礎的な微分方程式の形
  1. $$\frac{dy}{dx} = nx^{n-1}  →y=x^n+C$$
  2. $$\frac{dy}{dx} =y →y =Ce^x$$
  3. $$\frac{d^2y}{dx^2} =-y →y=C_1sinx+C_2cosx$$

矢印の右側は一般解を示しています。

$C$、$C_1$、$C_2$は積分定数です。

ではそれぞれ見ていきます。

①$\frac{dy}{dx} = nx^{n-1}$

これは右辺がxの式になっています。

これを満たす関数yを求めるために、右辺をxで積分します。

$$x^n +C$$

Cは積分定数です。

微分の逆の計算である積分をする、ということで微分方程式を解くことができるものもあります。

②$\frac{dy}{dx} =y$

これは先ほど例でやりましたね。

一般解は$y=Ce^x$です。

微分しても変わらない関数は$e^x$だ!と覚えておいてください。

③$\frac{d^2y}{dx^2} =-y$

これもよく出てきます。

2回微分すると、符号が変わって元通りになる関数です。

答えは三角関数であるsin,cosですね。

$y=sinx$を微分すると、$y’=cosx$、さらに微分すると$y”=-sinx =-y$です。

ちなみに上記は特殊解ですので、一般解にするためには、先ほどの$e^x$と同じく、係数にCをつけます。

$y=Csinx$です。

ちなみにこれでもまだ特殊解のレベルです。

$y=sin(x-δ)$のように、位相差があるような場合でも成り立ちますね?

ということで、一般解は、

$$y=Csin(x-δ)$$

あれ?でもcosだって解となりうるんじゃないの??

そう、cosでもいいんです。

なので、この形の一般解を書くとき、下記のように書く場合も多いです。

$$y=C_1sinx+C_2cosx$$

ちなみに、この一般解は$y=Csin(x+δ)$と示している内容としては同じです。

三角関数の合成をしてみればわかります。

三角関数の合成公式
$$Csinx+Dcosx = \sqrt{C^2+D^2}sin(x-δ)$$
$$tanδ = \frac{C}{D}$$

今回の式に当てはめると下記のようになりますね。

$$C_1sinx+C_2cosx = \sqrt{C_1^2+C_2^2}sin(x-δ)$$
$$tanδ=\frac{C_1}{C_2}$$

ここで、$C =\sqrt{C_1^2+C_2^2}$とすると、先ほどの一般解は同じことを示していることがわかりますね。

まとめ

今回はここまでで、微分方程式の基本を解説しました。

まとめ
  • 微分方程式とは方程式を満たす関数を求めるもの
  • 解には一般解と特殊解がある
  • 一般解は定数を含み、特殊解は初期条件などで、定数が決まった解
  • まず覚えるべき3つのパターンはxのn次関数、指数関数、三角関数

微分方程式の基礎の基礎です。

解くにあたってこれからどんどん難しくなりますので、しっかり理解してくださいね。