本記事では微分方程式の解法『変数分離形』について解説します。
そもそも微分方程式って何？？という方は過去の記事で解説していますので、参考にしてください。
[box class="blue_box" title="参考記事"]
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変数分離は微分方程式の解き方でも簡単な部類に入りますので、まず微分方程式になれるという意味でも、しっかり理解しておきましょう。
[box class="green_box" title="本記事をおススメする人"]
- 微分方程式アレルギーの人
- １から微分方程式の勉強をしたい人
- 微分方程式についてなんとなくわかったけど、解き方が分からない人
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目次
変数分離形で解く方程式
下記のような微分方程式を解く方法です。
$$y' = f(x)g(y)・・・①$$
変数分離形の解法
[box class="pink_box" title="解法5ステップ"]
- 両辺をg(y)で割ります (g(y)≠0とします）
- 両辺にdxをかけます
- 両辺に積分記号をつけます。
- y=○○の形に式変形します。
- g(y)≠0となるyの条件を満たすような積分定数Cを求めます
[/box]
①式を$\frac{dy}{dx}$で書き直します。
ここからyの式を緑色、xの式を赤色で書いて、わかりやすくしておきます。
$$\frac{\color{green}{dy}}{\color{red}{dx}} =\color{red}{f(x)}\color{green}{g(y)}$$
Step1 両辺をg(y)で割ります
割り算をするのでg(y)≠0とします。
$$\frac{1}{\color{green}{g(y)}}\frac{\color{green}{dy}}{\color{red}{dx}} =\color{red}{f(x)}$$
Step2 両辺にdxをかけます
$$\frac{1}{\color{green}{g(y)}}・\color{green}{dy} = \color{red}{f(x)dx}$$
左辺の変数はy(緑色)、右辺の変数はx(赤色)となりましたね。
このように左辺と右辺で変数を分ける方法を変数分離といいます。
Step3 両辺に積分記号をつける
でもこのままじゃ解けませんので、両辺に機械的に積分記号をつけましょう。
$$\int\frac{1}{g(y)}・dy = \int f(x)dx$$
これで両辺を積分したら求まりますね。
Step4,5は具体的な数式を積分する際に必要なステップですので、f(x)とg(y)に具体的に数式を入れた場合で、見てみましょう。
具体例
それでは具体例を2つほど見てみましょう。
$y'=2xy、y(0) =1$
初期条件として$x=0$のとき、$y=1$としています。
それでは変数分離してみましょう。
$$\frac{dy}{dx} = 2xy$$
両辺をyで割って、$dx$をかけます(Step1と2)
$$\frac{1}{y}・dy = 2xdx$$
左辺と右辺で変数がyとxで分離できましたね。
これに積分記号をつけます(Step3)
$$\int\frac{1}{y}・dy = \int2xdx$$
これを計算すると、
$$logy = x^2 +C$$
Cは積分定数です。
logを外してy=○○の形にします(Step4)
$$y=e^{x^2+C}=e^Ce^{x^2}=C'e^{x^2}$$
$e^C = C'$と定数を置きました。
ここで、y=0のとき、y'=0となって、元の式は満たします。
変数分離をする際、g(y)=0となる条件はであるy=0は除外していますので、
このケースについて別途考えます(Step5)
y=0のとき、C'=0とすれば、右辺は0になりますね。
C'=0も含むような定数をC''として書き換えると、
$$y=C''e^{x^2}$$
これが一般解です。
初期条件が定められているので、特殊解を求めましょう。
x=0のとき、y=1なので、
$$log1 = 0^2 +C$$
log1=0だから、C=0となります。
$$log{y}=x^2$$
この式だと関数の形が分かりにくいと思いますので、logを外してy=○○の形にします。
$$y = e^{x^2}$$
これが特殊解です。
$y'=1-y^2$
つぎはこれを変数分離で解いてみましょう。
[voice icon="https://deltapower.site/wp-content/uploads/2020/04/男性悩み.png" name="数学苦手君" type="l"]いや、この式ってx無いですよ？？[/voice]
[voice icon="https://deltapower.site/wp-content/uploads/2020/09/にっこり右側.jpg" name="デルタ先生" type="r"]$f(x)=1、g(y)=1-y^2$とすると、$y'=f(x)g(y)$の形に見えてこない？？[/voice]
ということで、$f(x)=1、g(y)=1-y^2$として解きます。
$1-y^2$を因数分解して書き直すと、
$$\frac{dy}{dx}=1・(1-y)(1+y)$$
g(y)≠0でなければ割れないので、y≠±1とします。
g(y)で両辺を割って、dxをかけますと、(Step1,2)
$$\frac{1}{(1-y)(1+y)}dy=dx$$
積分しますと(Step3)
$$\int\frac{1}{(1-y)(1+y)}dy=\int dx$$
左辺の積分は部分分数分解で積分すると求まります。
$$\frac{1}{2}log|\frac{1+y}{1-y}|=x+C_1$$
logを外すと、
$$|\frac{1+y}{1-y}|=e^{2x+2C_1}$$
左辺の絶対値を外し、右辺の積分定数を前に出します。
$$\frac{1+y}{1-y}=±e^{2C_1}e^{2x}=C'_1e~{2x}$$
$C'_1 =±e{2C_1}$としています。
これをy=○○の形に整理しますと、(Step4)
$$y=\frac{C'_1e^{2x}-1}{C'_1e^{2x}+1}$$
これが一般解・・・とはいきません。
そうy=±1を除いていますね。
この式がy=±1で成り立つか見てみましょう。(Step5)
$y=-1$のとき
$$-1=\frac{C'_1e^{2x}-1}{C'_1e^{2x}+1}$$
$C'_1=0$とすると、右辺は-1になりますね。
$y=1$のとき
$$1=\frac{C'_1e^{2x}-1}{C'_1e^{2x}+1}$$
右辺を1にするにはどうするか、ですが、結論$C'_1→∞$にします。
まず、式変形します。
$$(右辺)=\frac{e^{2x}-\frac{1}{C'_1}}{e^{2x}+\frac{1}{C'_1}}$$
$C'_1→∞$とすると、
$$(右辺)=\frac{e^{2x}}{e^{2x}}=1$$
となります。
つまり、$C'_1$に0と∞を含ませれば、どんなyでも成り立つ一般解となりますね。
0と∞を含むような積分定数をCとすると、一般解は、
$$y=\frac{Ce^{2x}-1}{Ce^{2x}+1}$$
となります。
0になる条件がある場合、あとでその条件が満たすように積分定数を定め直してくださいね。
まとめ
以上が変数分離形の微分方程式の解法です。
変数分離形の関数は、
$$y' =\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)・・・①$$
[box class="pink_box" title="解法5ステップ"]
- 両辺をg(y)で割る (g(y)≠0とする）
- 両辺にdxをかける
- 両辺に積分記号をつける
- y=○○の形に式変形
- g(y)≠0となるyの条件を満たすような積分定数Cを求める
[/box]
以上5ステップです。
解き方を覚えて、いくつか解いてみると身に付きますので、自分の手をしっかり動かすことも忘れないでくださいね。
次回の同次形の微分方程式でも、この変数分離形の解き方を使用しますので、そちらでも練習しましょう。
それではまた。