微分方程式の基礎②-変数分離形-微分方程式の解法について解説

本記事では微分方程式の解法『変数分離形』について解説します。

そもそも微分方程式って何？？という方は過去の記事で解説していますので、参考にしてください。

変数分離は微分方程式の解き方でも簡単な部類に入りますので、まず微分方程式になれるという意味でも、しっかり理解しておきましょう。

変数分離形で解く方程式

下記のような微分方程式を解く方法です。

$$y' = f(x)g(y)・・・①$$

変数分離形の解法

①式を\(\frac{dy}{dx}\)で書き直します。

ここから\(y\)の式を緑色、\(x\)の式を赤色で書いて、わかりやすくしておきます。

$$\frac{\color{green}{dy}}{\color{red}{dx}} =\color{red}{f(x)}\color{green}{g(y)}$$

Step1　両辺を\(g(y)\)で割ります

割り算をするので\(g(y)≠0\)とします。

$$\frac{1}{\color{green}{g(y)}}\frac{\color{green}{dy}}{\color{red}{dx}} =\color{red}{f(x)}$$

Step2　両辺に\(dx\)をかけます

$$\frac{1}{\color{green}{g(y)}}・\color{green}{dy} = \color{red}{f(x)dx}$$

左辺の変数は\(y\)(緑色)、右辺の変数は\(x\)(赤色)となりましたね。

このように左辺と右辺で変数を分ける方法を変数分離といいます。

Step3 両辺に積分記号をつける

でもこのままじゃ解けませんので、両辺に機械的に積分記号をつけましょう。

$$\int\frac{1}{g(y)}・dy = \int f(x)dx$$

これで両辺を積分したら求まりますね。

Step4,5は具体的な数式を積分する際に必要なステップですので、\(f(x)\)と\(g(y)\)に具体的に数式を入れた場合で、見てみましょう。

具体例

それでは具体例を2つほど見てみましょう。

\(y'=2xy、y(0) =1\)

初期条件として\(x=0\)のとき、\(y=1\)としています。

それでは変数分離してみましょう。

$$\frac{dy}{dx} = 2xy$$

両辺を\(y\)で割って、\(dx\)をかけます(Step1と2)

$$\frac{1}{y}・dy = 2xdx$$

左辺と右辺で変数が\(y\)と\(x\)で分離できましたね。

これに積分記号をつけます(Step3)

$$\int\frac{1}{y}・dy = \int2xdx$$

これを計算すると、

$$logy = x^2 +C$$

Cは積分定数です。

\(log\)を外して\(y=○○\)の形にします(Step4)

$$y=e^{x^2+C}=e^Ce^{x^2}=C'e^{x^2}$$

\(e^C = C'\)と定数を置きました。

ここで、\(y=0\)のとき、\(y'=0\)となって、元の式は満たします。

変数分離をする際、\(g(y)=0\)となる条件はである\(y=0\)は除外していますので、

このケースについて別途考えます(Step5)

\(y=0\)のとき、\(C'=0\)とすれば、右辺は0になりますね。

\(C'=0\)も含むような定数をC''として書き換えると、

$$y=C''e^{x^2}$$

これが一般解です。

初期条件が定められているので、特殊解を求めましょう。

\(x=0\)のとき、\(y=1\)なので、

$$log1 = 0^2 +C$$

\(log1=0\)だから、\(C=0\)となります。

$$log{y}=x^2$$

この式だと関数の形が分かりにくいと思いますので、\(log\)を外して\(y=○○\)の形にします。

$$y = e^{x^2}$$

これが特殊解です。

\(y'=1-y^2\)

つぎはこれを変数分離で解いてみましょう。

ということで、\(f(x)=1、g(y)=1-y^2\)として解きます。

\(1-y^2\)を因数分解して書き直すと、

$$\frac{dy}{dx}=1・(1-y)(1+y)$$

\(g(y)≠0\)でなければ割れないので、\(y≠±1\)とします。

\(g(y)\)で両辺を割って、\(dx\)をかけますと、(Step1,2)

$$\frac{1}{(1-y)(1+y)}dy=dx$$

積分しますと(Step3)

$$\int\frac{1}{(1-y)(1+y)}dy=\int dx$$

左辺の積分は部分分数分解で積分すると求まります。

$$\frac{1}{2}log|\frac{1+y}{1-y}|=x+C_1$$

logを外すと、

$$|\frac{1+y}{1-y}|=e^{2x+2C_1}$$

左辺の絶対値を外し、右辺の積分定数を前に出します。

$$\frac{1+y}{1-y}=±e^{2C_1}e^{2x}=C'_1e~{2x}$$

\(C'_1 =±e{2C_1}\)としています。

これを\(y=○○\)の形に整理しますと、(Step4)

$$y=\frac{C'_1e^{2x}-1}{C'_1e^{2x}+1}$$

これが一般解・・・とはいきません。

そう\(y=±1\)を除いていますね。

この式が\(y=±1\)で成り立つか見てみましょう。(Step5)

\(y=-1\)のとき

$$-1=\frac{C'_1e^{2x}-1}{C'_1e^{2x}+1}$$

\(C'_1=0\)とすると、右辺は-1になりますね。

\(y=1\)のとき

$$1=\frac{C'_1e^{2x}-1}{C'_1e^{2x}+1}$$

右辺を1にするにはどうするか、ですが、結論\(C'_1→∞\)にします。

まず、式変形します。

$$(右辺)=\frac{e^{2x}-\frac{1}{C'_1}}{e^{2x}+\frac{1}{C'_1}}$$

\(C'_1→∞\)とすると、

$$(右辺)=\frac{e^{2x}}{e^{2x}}=1$$

となります。

つまり、\(C'_1\)に0と∞を含ませれば、どんな\(y\)でも成り立つ一般解となりますね。

0と∞を含むような積分定数を\(C\)とすると、一般解は、

$$y=\frac{Ce^{2x}-1}{Ce^{2x}+1}$$

となります。

0になる条件がある場合、あとでその条件が満たすように積分定数を定め直してくださいね。

まとめ

以上が変数分離形の微分方程式の解法です。

変数分離形の関数は、

$$y' =\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)・・・①$$

以上5ステップです。

解き方を覚えて、いくつか解いてみると身に付きますので、自分の手をしっかり動かすことも忘れないでくださいね。

次回の同次形の微分方程式でも、この変数分離形の解き方を使用しますので、そちらでも練習しましょう。

それではまた。