高校物理-力学 力の分解

高校物理 力学 力の分解 ベクトルと三角関数 学問・技術
物理苦手君
なんか力が斜めの方向なんだけど・・・?これどうするの??
はなたか
斜めの力は、力を分解して考えるんだ。ベクトルと三角関数の考え方が必要だから、詳しく解説するね。

高校1年生の方は最初の難関じゃないでしょうか?

習ったことのないベクトルと三角関数が出てきて、『なんじゃこりゃ??』ってなっちゃうところです。

(筆者もそうでした・・・)

本記事ではこんな人におススメです。

本記事をおススメする人
  • 力学を学び始めた方で、ベクトルや三角関数が出てきて困っている人
  • 授業の予習でどんな感じかをつかみたい人

力の分解

ベクトルの分解

力の分解です。

今まで力を矢印で書いてきましたが、これは数学でベクトルと呼んでいるものです。

ベクトルには、1とか2とか、ベクトル自体の大きさと、向きを表すことができます。

力のベクトルの場合、 作用点を出発点として、 力が発生している向きに矢印を書きます。

ベクトルの大事な考え方として、いろんな方向に分解したり、足し合わせたりできます

今回は力の分解について、アニメーションで見てみましょう。

こんな感じの3ステップです。

力の分解3ステップ
  1. 分解したい方向を2つ決める
  2. 元のベクトルが対角線になるような平行四辺形を書く
  3. 平行四辺形に沿って、2本のベクトルを書く

ちなみに、平行四辺形で分解すると、あとの三角関数の計算がややこしくなることが多いので、力学では基本的に長方形を書いて分解します。

こういう形です。

直角三角形が見えてくると思いますが、直角三角形だと、三平方の定理を使えたり、三角関数の計算が楽になったりするので、計算がしやすいメリットがあります。

三角関数・・・と聞いてゾッとした方もいらっしゃるかもしれませんが、次に解説しますね。

分解した力の表し方:三角関数

そして分解した力の表し方です。

これには三角関数を使います。

物理苦手君
ベクトルとか三角関数とか・・・まだ習ってへんし!!
はなたか
それは僕も高校生の時に思ったよ…でも要点だけ理解しておくと、楽になるから踏ん張りどころだよ。

三角関数の表し方ですが、直角三角形を書いたときに、下記のようになります。

斜辺の長さをA、角度をθとすると、xがAcosθ、yがAsinθです。

まずはこれだけ覚えてください。xがcosθ、yがsinθ・・・xがcosθ、yがsinθ・・・

呪文のように唱えてください。

これに斜辺の長さをかけるだけです。

これは数学でも超重要で、よく使いますのでよく覚えておきましょう。

それではよくある例を見て、考え方に慣れていきましょう。

例:斜面のボール(摩擦無しで滑っている状態)

まず、摩擦無しで重力だけ働いている場合を考えましょう。

ボールは加速度aで滑っています。

ボールの質量をm、重力加速度をgとすると、重力は、真下の方向に発生します。

物理苦手君
え~っと・・・力を分解するんだよね?どの方向に分解したらいいの??
はなたか
使うのは運動方程式だから、ボールが加速度運動している方向に分解したくなるよね。

考え方としては、

力を分解する方向の考え方
  1. 加速度aで加速度運動している
  2. 運動方程式で力を求めたいから、加速度運動している方向の力の成分が知りたい
  3. 働いている力を、加速度運動している方向に分解するぞ!

という流れです。

働いている力は重力なので、この重力を 加速度運動している方向と、その垂直な方向に分解します。

加速度運動している方向の力Fは、斜面の角度をθとすると、

$$F=mg × sinθ$$

となりますね。

ちなみに、斜面と垂直な方向には力がつりあっています

イメージがつかない人は、斜面を水平にして見てみましょう。

こんな感じ。斜面を水平にするために回転させてます。

斜面と垂直な方向でつりあっていないと、ボールは斜面にめり込むか、飛んで行ってしまいますね。

垂直抗力をNとすると、斜面に垂直な力がつりあっているので、力のつり合いから、

$$N=mg cosθ$$

以上で、この問題における力がすべて明らかになりましたね。

まとめ

以上、力の分解と分解したベクトルを三角関数で表すことを解説しました。

力の分解の3ステップは下記です。

力の分解3ステップ
  1. 分解したい方向を2つ決める
  2. 元のベクトルが対角線になるような平行四辺形を書く
  3. 長方形(or 平行四辺形)に沿って、2本のベクトルを書く

分解する際は、 平行四辺形より、長方形を作る方が計算しやすくなります

また、力を分解する方向の考え方は下記です。

分解する方向の考え方
  1. 加速度aで加速度運動している
  2. 運動方程式で力を求めたいから、加速度運動している方向の力の成分が知りたい
  3. 働いている力を、加速度運動している方向に分解するぞ!

1つ方向を決めたら、長方形を作るために、決めた方向に垂直な方向に力を分解するようにしましょう。

この基本さえ理解しておけば、基礎的な問題は解けるようになりますので、しっかり理解しましょう。

このブログを読み終えた状態というのは、『武器をもらって、取り扱い説明書を読んだ状態』です。

武器を使いこなすには、問題を解いて、しっかりと実戦で使いこなせるようにしましょう。

はなたか
実際に、問題を解いて自分のモノにしてね!日々の勉強頑張ってください☆ありがとうございました!