強制振動における共振の計算(減衰無し)

振動・波動の基礎 強制振動おける共振の計算 減衰無し 学問・技術

強制振動における共振の計算について詳細です。

こんな人におススメ
  • 共振のイメージはついたけど、数式的にもっと深く知りたい人
  • 運動方程式が解けず、共振の式が導出できない人
  • 仕事で構造物の設計をする人、大学で振動の研究をしはじめた人

強制振動の共振については下記の過去記事を参考にしてください。

なお、微分方程式を解く必要がありますので、最低限の大学数学の知識を必要としますが、できるだけ簡潔にわかりやすく解決します。

強制振動の運動方程式を解く

単振動の式

まずは外力が働いていない場合、バネにつながれたモデルの単振動の式です。

下記のようになりますね。

$$m\ddot{x}=-kx$$

この式については過去の記事で解説していますので、参考にしてください。

強制振動の運動方程式

この式に強制振動を加えます。

外から周期的な力、$Fcosωt$というものを付け加えます。

イメージとしては、手でバネにずーっと力を与え続けるようなイメージです。

$$m\ddot{x}=-kx + Fcosωt$$

これを両辺$m$で割って整理します。

$$\ddot{x}=-ω^2_0x+fcosωt$$

$$ただし、ω_0=\sqrt{\frac{k}{m}}、f=\frac{F}{m}$$

この微分方程式を解きましょう。

非斉次方程式の一般解

これは非斉次方程式ですので、下記のような形が一般解となります。

一般解 = 斉次方程式の一般解 + 非斉次方程式の特解

斉次方程式の一般解というのは、自由振動の場合の解になります。

今回の場合、減衰もない状態ですので、外力が働いていない単振動の一般解になります。

つまり、$m\ddot{x}=-kx$の一般解ですので、$Asinω_0t+Bcosω_0t$ですね。

これは過去の記事で解いていますので参考にしてください。

自由振動

自由振動のイメージはこのような図になりますね。

非斉次方程式の特解

では、次に非斉次方程式の特解です。

$$\ddot{x}=-ω^2_0x+fcosωt$$

左辺と右辺を見比べて、2回微分したものが微分する前の形と同じものなので、三角関数を特解として仮定できそうですね。

さらに、$fcosωt$がついていますので、三角関数の中でもcosを使う方が簡単そうです。

ということで、特解を$x=acosωt$として、微分方程式に代入します。

$$-aω^2cosωt = -aω^2_0cosωt+fcosωt$$

$cosωt$を両辺から消去して、

$$-aω^2=-aω^2_0+f$$

となるので、

$$a=-\frac{f}{ω^2-ω^2_0}$$

特解$x$は

$$x=\frac{f}{ω^2_0-ω^2}cosωt$$

となります。

非斉次方程式の一般解に初期値を与えて変形

これでめでたく斉次方程式の一般解と、非斉次方程式の特解がわかりましたので、非斉次方程式の一般解は下記となりますね。

一般解 = 斉次方程式の一般解 + 非斉次方程式の特解

$$x(t) = \color{magenta}{Asinω_0t+Bcosω_0t }\color{red}{+\frac{f}{ω^2_0-ω^2}cosωt}$$
物理苦手君
一般解はわかったけど、三角関数3つもあったら全然イメージつかないよ~!
はなたか
じゃあ、もう少し具体的にしてみて、式を簡単にしてみよう。

確かにこのままだと、AとかBとかわけのわからない定数が存在して、イメージがつきにくいですね。

A、Bを求めるために、t=0のときの初期状態を仮定してあげましょう。

物体の初期の位置と速度をゼロとします。

式的には、$x(0) =0、\dot{x}(0)=0$です。

イメージとしては、『強制振動を与える前は、ぜ~んぜん動いてません』、っていう状態です。

さて、この場合、一般解はどうなるかを計算すると、

$$x(0) = B +\frac{f}{ω^2_0-ω^2} = 0$$
$$\dot{x}(0) = A =0$$

です。t=0なので、$x(0)$は$cos$の項が、$\dot{x}(0)$は$sin$の項が残りますね。Bについては

$$B=-\frac{f}{ω^2_0-ω^2}$$

となりますので、A=0と共に一般解に代入しましょう。

$$x=-\frac{f}{ω^2_0-ω^2}cosω_0t+\frac{f}{ω^2_0-ω^2}cosωt$$

$cos$の係数が同じなので整理すると、下記となります。

$$x=\frac{f}{ω^2_0-ω^2}(cosωt-cosω_0t)$$

共振現象

さてここで、共振現象を考えます。

共振とは モノの固有振動数と外力の振動数が一致することを指しますので、 $ω→ω_0$と極限をとった場合を考えます。

少し見通しが悪いので、三角関数部分を和積の公式で変換します。

$$x = \frac{2f}{(ω+ω_0)(ω-ω_0)}sin\frac{ω+ω_0}{2}t・sin\frac{ω-ω_0}{2}t$$

$ω-ω_0=Δω$として、$\frac{Δω}{2}$で整理すると、

$$x = \frac{f}{(ω+ω_0)}sin\frac{ω+ω_0}{2}t・\frac{sin\frac{Δω}{2}}{\frac{Δω}{2}}t$$

$ω-ω_0=Δω$なので、$ω→ω_0$と極限をとったとき、$Δω→0$となります。

ここで、上式の中にある、

$$\frac{sin\frac{Δω}{2}}{\frac{Δω}{2}}t$$

の部分は、$Δω→0$の極限をとると、ロピタルの定理で1となります。

(これは$x→0$のとき、$\frac{sinx}{x}→1$となるからです。)

よって、$ω→ω_0$と極限をとったとき、

$$x = \frac{ft}{2ω_0}sinω_0t$$

となります。

この式を見てみると、振幅部分が$ft$となっていますので、時間が経てば経つほど、振幅が大きくなることを示しています。

時間を無限大にしてしまうと、振幅も無限大、つまり、とてつもなく大きな振動に発達する、ということです。

これが共振現象です。グラフを書くと下記のようになります。

これは外力の周波数ωが、振動するモノの固有振動数$ω_0$と一致するときのグラフです。

tが増加すると、だんだん変位量xが大きくなっていますね。

$x=±\frac{f}{2ω_0}t$の間の領域で振動します。

まとめ

いかがでしたでしょうか。

計算についてかなり詳しく書きましたが、大学生レベルの数学知識が必要となります。

微分方程式の解き方も将来的には記事にしていきますので、参考にしていただければと思います。

参考文献

  • 振動工学の基礎:岩壺卓三、松久寛、森北出版株式会社
  • 機械力学-振動の基礎から制御まで:日高照晃、小田哲、川辺尚志、曽我部雄次、吉田和信、朝倉書店