振動・波動の基礎④-変位加振・地動加振について 強制振動との違いも解説

振動・波動の基礎 変位加振・地動加振 大学物理
物理苦手君
そもそも強制振動の運動方程式のモデルって実際に起こりうるの？
デルタ先生
電気回路とかの分野では強制振動のような現象は発生するよ。

でも構造物が地震などで揺れる場合は少し変わってくるんだ。

これまで、繋がれた質量に、直接的に外力を与えて振動させる強制振動の解説をしてきました。

参考記事

振動・波動の基礎　③強制振動と共振について

今回は、振動の変位加振（地動加振とも言います）について解説します。

本記事をおススメする人
  • 強制振動と変位加振（地動加振）の違いを知りたい人
  • 物理を勉強していて興味がある人、仕事で振動の知識を使う人

変位加振（地動加振）とは？

強制振動とのモデルの違い

変位加振は、繋がれた質点に間接的に力を加え、振動させたときの状態を指します。

モデルを見て比較してみましょう。

左側がこれまで扱ってきた強制振動のモデル、右側が変位振動のモデルです。

変位振動のモデルは固定部が揺れて、慣性力で質量を動かします。

このときの固定部の変位を$x_0$としています。

冒頭の地震の例で言うと、固定部が地面で、質量がビルなどの建物に相当しますね。

運動方程式を解く

さて、それでは違いを考えるにあたって、運動方程式を解くことは避けられません。

慣性力を考慮して、運動方程式は、

$$m\ddot{x}+c(\dot{x}-\dot{x_0})+k(x-x_0) = 0$$

$ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}、ζ =\frac{c}{mω_0}$とすると、

$$\ddot{x}+2ζω_0(\dot{x}-\dot{x_0})+ω_0^2(x-x_0) = 0$$

$x_0$の項を右辺に持ってくると、

$$\ddot{x}+2ζω_0\dot{x}+ω_0^2x =2ζω_0\dot{x_0}+ω_0^2x_0$$

固定部の振動を振幅Xとして、$x_0 = Xcosωt$とすると、$\dot{x_0} = -Xωsinωt$より、

$$\ddot{x}+2ζω_0\dot{x}+ω_0^2x =-2ζω_0ωXsinωt+ω_0^2Xcosωt$$

三角関数の合成公式を使って、右辺を整理します。

三角関数の合成公式
$$Csinx+Dcosx = \sqrt{C^2+D^2}sin(x-δ)$$
$$tanδ = \frac{C}{D}$$

これを使うと

$$\ddot{x}+2ζω_0\dot{x}+ω_0^2x =\sqrt{(2ζω_0ω)^2+(ω_0^2)^2}Xsin(ωt-δ)・・・①$$

$$tanδ =\frac{-2ζω_0ω}{ω_0^2} = -\frac{2ζω}{ω_0}$$

ここまで式変形をして、①と強制振動の運動方程式②と見比べます。

$$\ddot{x}+2ζω_0\dot{x}+ω_0^2x = fcosωt・・・②$$

左辺が同じで、右辺が違うだけですね？

しかも微分方程式の左辺の形が同じで、右辺は三角関数なので、解となる関数の形は同じになります。

ということで、解き方については強制振動の運動方程式と同じになり、非斉次方程式を解くことになります。

強制振動の運動方程式を実際に過去記事で解いていますので、結果だけを引用します。

参考記事

強制振動における共振の計算（減衰あり）

強制振動の運動方程式の一般解は下記です。

$$x=\frac{f}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2)^2+(2ζω_0ω)^2}}sin(ωt-δ)・・・③$$

変位振動も強制振動も同じ三角関数で表すことができるので、振幅の部分に着目します。

①と②式において、右辺の三角関数の係数を比較して、

$$f → \sqrt{(2ζω_0ω)^2+(ω_0^2)^2}X$$

と③の式を置き換えると、変位振動での振幅が求まりますね。

振幅部分をAとすると

$$A=\frac{\sqrt{(2ζω_0ω)^2+(ω_0^2)^2}X}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2)^2+(2ζω_0ω)^2}}$$
$$A=\sqrt{\frac{(2ζ\frac{ω}{ω_0})^2+1}{(1-\frac{ω^2}{ω_0^2})^2+(2ζ\frac{ω}{ω_0})^2}}・X$$

このXの係数部分を伝達関数と言い、$T_f$と示します。

伝達関数は、固定部の振動が質量部分にどのくらい伝わるか、を示した関数になり、

$$T_f = \frac{慣性力による振幅}{固定部の振動の振幅} =\frac{A}{X}$$

よって

$$T_f =\sqrt{\frac{(2ζ\frac{ω}{ω_0})^2+1}{(1-\frac{ω^2}{ω_0^2})^2+(2ζ\frac{ω}{ω_0})^2}}$$

$Ω = \frac{ω^2}{ω_0^2}$とすると、

$$A=\sqrt{\frac{4ζ^2Ω+1}{(1-Ω)^2+4ζ^2Ω}}・X$$

この関数のグラフを書くと下記のようになります。

強制振動のときと同じような図になりますが、厳密には異なります。

イメージ的には、$ω_0$の近くで共振するが、減衰の分だけ低周波数側へ共振周波数はシフトします。

強制振動の変位グラフとの比較

物理苦手君
同じような図というか、ほとんど差がないんだったら知らなくてもいいじゃん！
デルタ先生
じゃあ、強制振動のときの変位と、変位振動のときの変位を比べてみよう。

それでは先ほどのグラフを少し表示を変えて、強制振動のときと並べて比較してみましょう。

縦軸は振動の応答倍率を対数表示、横軸は$\frac{ω}{ω_0}$で示しています。

応答倍率というのは、与えた力の振幅に対して、質量の振幅が何倍になるかを示しています。

右図のように、変位加振の場合、共振周波数より高い部分で減衰比ζによって値が変動します。

このことから、揺れにくくする構造にするための指針がたちます。

揺れを受けにくくするための例
  1. $ω/ω_0$できるだけ大きくする
  2. 減衰比をζをできるだけ小さくする

減衰比を大きくすればさせるほど、振動はしにくくなります。

その一方で、広い周波数の領域で、加振させた振動の振幅のままになってしまいます。

逆に減衰比を下げると、共振周波数でものすごく共振してしまいます。

ただし共振周波数より高い領域ではほとんど振動しなくなる、という現象が起こるわけです。

そして、共振周波数を高くすると、共振周波数より低い領域では、加振させた振動の振幅で振動してしまいます。

どのような振動を想定するかで、どのような設計にするかは変わってきますが、上記のようなグラフのイメージを持っていれば、設計指針も立てやすくなるでしょう。

まとめ

今回は変位加振（地動加振）の場合について解説しました。

強制振動のときと大きくは異なりませんが、振動数が高い部分で減衰との関係が少し変わってきます。

この変位加振は、振動の伝達を記述しており、構造設計を行う上で避けては通れないものです。

イメージできるようになれば、応用が利きますので、是非、本記事で理解していただければと思います。

参考文献

参考文献

  • 振動工学の基礎：岩壺卓三、松久寛、森北出版株式会社
  • 機械力学-振動の基礎から制御まで：日高照晃、小田哲、川辺尚志、曽我部雄次、吉田和信、朝倉書店
  • 構造と連続体の力学基礎：熊でもわかる変形できる物体の力学：岩熊哲夫、小山茂 web版
  • 振動・波動：小形正男、裳華房