振動・波動の基礎 強制振動のエネルギー

振動 波動の基礎 強制振動のエネルギー 大学物理

物理苦手君
自由振動のエネルギーはわかったんだけど、強制振動の場合エネルギーってどうなるの?
デルタ先生
じゃあ今回は強制振動のエネルギーについて勉強しよう。

 本日は強制振動のエネルギーについて学習します。

これまで下記の記事で単振動、減衰振動のエネルギーについて学習しました。

強制振動のポイントとして周期的外力によるエネルギーについてしっかりと理解し、散逸関数との関係性を覚えておきましょう。

動画でも解説していますので参考にしてください。

強制振動の復習

詳細は下記の過去記事、動画で解説していますので参考にしてください。

モデルと運動方程式

モデルは上記のようになっています。

質量がm、減衰係数c、バネ定数k、周期的外力をFcosωtとします。

この場合の運動方程式は下記のようになります。

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=Fcosωt$$

この運動方程式を解いて、変位の式を求めると、

$$x(t)=\frac{f}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2)^2+4ζ^2ω_0^2ω^2}}sin(ωt-δ)$$
 
$$tanδ = \frac{2ζω_0ω}{ω_0^2-ω^2}$$
 
$$ζ = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$$
$$ω_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$$
$$f =\frac{F}{m}$$
 
変位の式は三角関数の合成でsinの式だけで書き表されていますが、今回の計算では、sinとcosの2つで表した方が楽になりますので、分割します。
 
$$x(t)=\frac{f}{(ω_0^2-ω^2)^2+4ζ^2ω_0^2ω^2}\{(ω_0^2-ω^2)cosωt+2ζω_0ωsinωt)\}$$

振動のエネルギー

運動エネルギーをV、バネの弾性エネルギーをU、散逸関数をDとすると、それぞれ下記のように表すことができます。

$$V=\frac{1}{2}mv^2$$

$$U=\frac{1}{2}kx^2$$

$$D=\frac{1}{2}cv^2$$

力学的エネルギーEはVとUの和で表されるので、

$$E=V+U$$

この力学的エネルギーが時間的にどのように変化するかを見てみましょう。

力学的エネルギーEを時間微分すると、

$$\begin{eqnarray}\frac{dE}{dt}&=&\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2)\\\\&=&mv\frac{dv}{dt}+kx\frac{dx}{dt}\\\\&=&mv\frac{d^2x}{dt^2}+kxv \\\\&=&v(m\ddot{x}+kx)\end{eqnarray}$$

 運動方程式から、

$$m\ddot{x}+kx=-c\dot{x}+Fcosωt$$

なので、これを代入すると、

$$\begin{eqnarray}v(m\ddot{x}+kx)&=&v(-c\dot{x}+Fcosωt)\\\\ &=&-cv^2+vFcosωt\\\\&=&-2D+\frac{dx}{dt}Fcosωt\end{eqnarray}$$

このように減衰によるエネルギー減少を示す散逸関数と、周期的外力による項の仕事率で表すことができます。

周期的外力の仕事率について補足しておきますと、

力×距離÷時間で仕事率を表すことができるので、

力はFcosωt、距離はdx (微小な距離)、時間はdt (微小は時間)と対応させると、周期的外力の仕事率$w_F$は下記のようになりますね。

$$w_F=Fcosωt×\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dt}Fcosωt$$

減衰によるエネルギーの計算

減衰によるエネルギー減少分については、上述のように散逸関数Dを用いて$-2D$で表すことができますので、下記のようになります。

$$-2D=-cv^2$$

ここで、速度$v$を計算しておきます。

変位の式は求められているので、時間微分すれば速度を得ることができますので、変位の式を時間微分しましょう。

まず変位の式は、

$$x(t)=\frac{f}{(ω_0^2-ω^2)^2+4ζ^2ω_0^2ω^2}\{(ω_0^2-ω^2)cosωt+2ζω_0ωsinωt)\}$$

この式を時間微分するのですが、式が煩雑になるので、係数部分をAとおきます。

$$A=\frac{f}{(ω_0^2-ω^2)^2+4ζ^2ω_0^2ω^2}$$

こうすると、

$$\frac{dx}{dt}=v=Aω\{-(ω_0^2-ω^2)sinωt+2ζω_0ωcosωt)\}$$

求めるものはvを2乗したものなので、

$$v^2=A^2ω^2\{-(ω_0^2-ω^2)sinωt+2ζω_0ωcosωt)\}^2$$

減衰によるエネルギー減少分を$w_D$とすると

$$w_D=-cv^2=-cA^2ω^2\{-(ω_0^2-ω^2)sinωt+2ζω_0ωcosωt)\}^2$$

周期的外力のエネルギー

これは先ほど求めた通り、下記のようなります。

$$w_F=Fcosωt×\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dt}Fcosωt$$

係数の微分の部分は速度vと同じなので代入すると、

$$w_F=Aω\{-(ω_0^2-ω^2)sinωtFcosωt+2ζω_0ωFcos^2ωt\}$$

このようになります。

1周期分のエネルギーを比較する

減衰によるエネルギーと、周期的外力によるエネルギーが下記のように求まりましたが、このまま比較するのは少し難解になりそうですね。

$$w_D=-cA^2ω^2\{-(ω_0^2-ω^2)sinωt+2ζω_0ωcosωt)\}^2$$
$$w_F=Aω\{-(ω_0^2-ω^2)sinωtFcosωt+2ζω_0ωFcos^2ωt\}$$

複雑に見えるのは三角関数の部分があるからであって、

三角関数を消去すれば見通しがよくなりそうですね。

ということで三角関数を消去するために、積分して1周期分のエネルギーで考えることにします。

周期をTとすると、

$$T=\frac{2π}{ω}$$

$$\int_0^T w_Ddt=\int_0^T-cA^2ω^2\{-(ω_0^2-ω^2)sinωt+2ζω_0ωcosωt)\}^2dt$$
$$\int_0^T w_Fdt=\int_0^T \{-Aω(ω_0^2-ω^2)sinωtFcosωt+2ζω_0ωFcos^2ωt\}dt$$

このようになって、三角関数部分の積分をしていくわけです。

まず、$w_D$の部分ですが、積分の中の2乗部分を展開します。

$$\int_0^T w_Ddt=-cA^2ω^2\int_0^T\{(ω_0^2-ω^2)^2sin^2ωt-2(ω_0^2-ω^2)2ζω_0ωcosωtsinωt+(2ζω_0ω)^2cos^2ωt))\}dt$$

このように書き直すと、三角関数部分の積分は下記3種類の計算をする必要があることがわかります。

$$\begin{eqnarray}\int^T_0cos^2ωtdt&=&\int^T_0\frac{1+cos2ωt}{2}dt\\\\&=&\left[\frac{1}{2}t\right]^T_0+\left[\frac{1}{4}sin2ωt\right]^T_0\\\\&=&\frac{1}{2}T\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}\int^T_0cosωtsinωtdt&=&\int^T_0\frac{1}{2}sin2ωtdt\\\\&=&\left[-\frac{1}{4}cos2ωt\right]^T_0\\\\&=&0\end{eqnarray}$$
$$\begin{eqnarray}\int^T_0sin^2ωtdt&=&\int^T_0\frac{1-cos2ωt}{2}dt\\\\&=&\left[\frac{1}{2}t\right]^T_0-\left[\frac{1}{4}sin2ωt\right]^T_0\\\\&=&\frac{1}{2}T\end{eqnarray}$$

これらを代入すると、

$$\begin{eqnarray}\int_0^T w_Ddt&=&-cA^2ω^2\{(ω_0^2-ω^2)^2\frac{1}{2}T+(4ζ^2ω_0^2ω^2)\frac{1}{2}T\}\\\\&=&-\frac{1}{2}TcA^2ω^2\{(ω_0^2-ω^2)^2+(4ζ^2ω_0^2ω^2)\}\end{eqnarray}$$

Aとcについて、下記のように表されますので、代入します。

$$A=\frac{f}{(ω_0^2-ω^2)^2+4ζ^2ω_0^2ω^2}$$

$$c=2ζ\sqrt{mk}=2ζmω_0$$

代入すると、

$$\begin{eqnarray}\int_0^T w_Ddt&=&-\frac{1}{2}TA2ζmω_0ω^2\frac{f}{(ω_0^2-ω^2)^2+4ζ^2ω_0^2ω^2}\{(ω_0^2-ω^2)^2+(4ζ^2ω_0^2ω^2)\}\\\\&=&-TAζω_0ω^2F\end{eqnarray}$$

次に$w_F$の部分を計算します。

$$\begin{eqnarray}\int_0^T w_Fdt&=&\int_0^T \{-Aω(ω_0^2-ω^2)sinωtFcosωt+2ζω_0ωFcos^2ωt\}dt\\\\&=&\frac{1}{2}TA2ζω_0ωF\\\\&=&TAζω_0ω^2\end{eqnarray}$$

よって$-w_D=w_F$となり、1周期分のエネルギーの大きさは等しくなります。

つまり、減衰部分で消費されるエネルギーと周期的外力がなすエネルギーが同じになっています。

まとめ

強制振動のエネルギーについて解説しました。

強制振動では減衰で消費されるエネルギーと周期的外力がなすエネルギーが同じであることがポイントですので、

計算は少し大変ですがしっかりと理解しておきましょう。

参考文献

  • 振動工学の基礎:岩壺卓三、松久寛、森北出版株式会社
  • 機械力学-振動の基礎から制御まで:日高照晃、小田哲、川辺尚志、曽我部雄次、吉田和信、朝倉書店
  • 構造と連続体の力学基礎:熊でもわかる変形できる物体の力学:岩熊哲夫、小山茂 web版