本日は振動のエネルギーについて勉強します。
身近な例として地震の大きさのマグニチュードという単位も、 揺れのエネルギーを示しています。
エネルギーの観点から考えることによって、『見ている振動の大きさ』というものがわかりやすくなりますので、しっかりと理解しておきましょう。
今回は基礎編として、単振動と減衰ありの自由振動を取り扱います。
下記は単振動のエネルギーについて解説した動画なので、是非参考にしてみてください。
目次 -Contents-
単振動の場合
単振動のモデルと運動方程式
単振動のモデルは上記のように、質点がバネにつながれて同じペースで同じ大きさで揺れ続けている状態ですね。
運動方程式は、質量をm、バネ定数kとすると、
$$m\ddot{x}=-kx$$
となります。
この単振動の変位の式は下記のように表すことができます。
$$x = Asin(ωt+Φ)$$
横軸を時間t、縦軸を変位xとしたグラフは下記のようなグラフになります。
時間とともに上下に波打って変位しているのがわかりますね。
この変位の式の導出は過去の記事や下記の動画を参考にしていただけばと思います。
振動・波動の基礎①-2 単振動の運動方程式を解く 変位の式はなぜ三角関数？
単振動のエネルギー
エネルギーの種類は下記の２種類になります。
- 運動エネルギー V
- バネの弾性エネルギー U
運動エネルギーV、弾性エネルギーUはそれぞれ下記のようになります。
$$V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$$
$$U=\frac{1}{2}kx^2$$
二つの和が振動の力学的エネルギーEに相当し、和を取ってみると下記のようになります。
$$E=V+U=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2$$
ここで、変位の式は$x = Asin(ωt+Φ)$なので、上式に代入すると、
$$E=\frac{1}{2}mA^2ω^2cos^2(ωt+Φ)+\frac{1}{2}kA^2sin^2(ωt+Φ)$$
2項目のkは$ω^2=\frac{k}{m}$なので、$mω^2$となり、下記のように表されます。
$$E=\frac{1}{2}(mω^2A^2(cos^2(ωt+Φ)+sin^2(ωt+Φ))$$
$cos^2(ωt+Φ)+sin^2(ωt+Φ)=1$なので、
$$E=\frac{1}{2}mω^2A^2$$
振動のエネルギーは質量×振幅の2乗×角振動数の2乗 となりますので、質量、振幅、周波数が大きいほどエネルギーが大きくなることが分かります。
揺れが大きくても、周波数（揺れるスピード）が小さいとエネルギーは小さくなるのは想像しやすいですね。
減衰振動の場合
減衰振動のエネルギーについても下記の動画で解説していますので、参考にしてください。
減衰振動のモデルと運動方程式
減衰振動のモデルは上記のように、質点がバネとダンパーにつながれている状態ですね。
運動方程式は下記のようになります。
$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$$
この減衰振動の変位の式は下記のように表すことができます。
$$x=e^{-ζωt}Asin(ω_dt+Φ)$$
$$ω_d = ω\sqrt{1-ζ^2}$$
振幅が徐々に小さくなっていくような振動ですね。
この振動のエネルギーについて考えてみましょう。
減衰振動のエネルギー
運動エネルギーV、弾性エネルギーUはそれぞれ下記のようになります。
$$V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$$
$$U=\frac{1}{2}kx^2$$
これらをそれぞれ計算しましょう。
運動エネルギー
$$V=\frac{1}{2}m\dot{x}^2$$
$$x=e^{-ζωt}Asin(ω_dt+Φ)$$
xを微分すると、
$$\dot{x}=-ζωe^{-ζωt}Asin(ω_dt+Φ)+ω_de^{-ζωt}Acos(ω_dt+Φ)$$
くくって整理すると、
$$\dot{x}=e^{-ζωt}A(-ζωsin(ω_dt+Φ)+ω_dcos(ω_dt+Φ))$$
ここで三角関数の合成を行って、
$$\dot{x}=e^{-ζωt}A(\sqrt{ω_d^2+(ζω)^2}sin(ω_dt+Φ+Φ_0)$$
$$tanΦ_0=\frac{ω_d}{-ζω}$$
$ω_d = ω\sqrt{1-ζ^2}$なので、
$$\dot{x}=e^{-ζωt}Aωsin(ω_dt+Φ+Φ_0)$$
この式をVの式に代入すると、下記のようになります。
$$V=\frac{1}{2}me^{-2ζωt}A^2ω^2sin^2(ω_dt+Φ+Φ_0)$$
バネの弾性エネルギー
$$U=\frac{1}{2}kx^2$$
この式に$x=e^{-ζωt}Asin(ω_dt+Φ)$を代入します。
$$U=\frac{1}{2}ke^{-2ζωt}A^2sin^2(ω_dt+Φ)$$
減衰振動の力学的エネルギー
それでは力学的エネルギーを計算しましょう。運動エネルギーUと弾性エネルギーVの和を取ると、
2項目のkは$ω^2=\frac{k}{m}$なので、$mω^2$となり、まとめることができて、
$$E=\frac{1}{2}mω^2A^2e^{-2ζωt}(sin^2(ω_dt+Φ+Φ_0)+sin^2(ω_dt+Φ))$$
$sin^2$については下記の三角関数の公式を使って整理します。
$$sin^2θ=1-cos^2θ=1-\frac{1+cos2θ}{2}=\frac{1-cos2θ}{2}$$
よってEは
$$E=\frac{1}{4}mω^2A^2e^{-2ζωt}(2-cos2(ω_dt+Φ+Φ_0)-cos2(ω_dt+Φ))$$
今度はcosの２項に下記の和積の公式を使います。
$$cosx+cosy=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$$
この和積の公式を使って整理すると、
$$E=\frac{1}{2}mω^2A^2e^{-2ζωt}(1-cos2(ω_dt+Φ+Φ_0)cosΦ_0)$$
$cosΦ_0$の$Φ_0$は三角関数の合成で現れた角度で、
$$tanΦ_0=\frac{ω_d}{-ζω}、cosΦ_0=\frac{-ζω}{\sqrt{ω_d^2+(ζω)^2}}$$
$ω_d = ω\sqrt{1-ζ^2}$なので、$cosΦ_0$の分母はωになって、
$$cosΦ_0=-ζ$$
となります。
よって力学的エネルギーEは下記のようになります。
$$E=\frac{1}{2}mω^2A^2e^{-2ζωt}(1+ζcos2(ω_dt+Φ+Φ_0)$$
エネルギーの式に$e^{-2ζωt}$が入っているので、減衰振動では時間が経過すると指数関数的にエネルギーが小さくなっていく形になっています。
散逸関数
減衰振動ではエネルギーが小さくなっていくのがわかったところで、
このエネルギーが逃げていく現象を表す散逸関数Dというものを考えてみましょう。
力学的エネルギーの時間変化を考えるために、Eを時間微分してみると、
$$\frac{dE}{dt}=\frac{dV}{dt}+\frac{dU}{dt}$$
個別に計算すると、
$$\frac{dV}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}$$
$$\frac{dU}{dt}=kx\dot{x}$$
よって、
$$\frac{dE}{dt}=m\dot{x}\ddot{x}+kx\dot{x}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)$$
ここで、運動方程式は、
$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0$$
この式を代入して、
$$\frac{dE}{dt}=\dot{x}(-c\dot{x})=-c\dot{x}^2$$
散逸関数Dを
$$D=\frac{1}{2}c\dot{x}^2$$
と定義すると、
$$\frac{dE}{dt}=-c\dot{x}^2=-2D$$
散逸関数は ダンパーによってエネルギーが系から消失していることを示します。
まとめ
今回は振動のエネルギーについて解説しました。
振動の力学的エネルギーを考える際は、運動エネルギーとバネの弾性エネルギーの和をとればよく、
振動のエネルギーは質量、振幅、周波数に依存します。
また減衰を考慮することで、振動エネルギーが系から減少していきます。
この減衰による振動エネルギーの消失を表すのが散逸関数Dというものでした。
振動のエネルギーの観点から考えることで、振動の大きさのイメージがわかりやすくなると思いますので、
是非エネルギーの観点から考えられるようになりましょう。
参考文献
- 振動工学の基礎：岩壺卓三、松久寛、森北出版株式会社
- 機械力学-振動の基礎から制御まで：日高照晃、小田哲、川辺尚志、曽我部雄次、吉田和信、朝倉書店
- 振動・波動：小形正男、裳華房
- 構造と連続体の力学基礎：熊でもわかる変形できる物体の力学：岩熊哲夫、小山茂 web版
