振動・波動の基礎-⑪2自由度系の非減衰強制振動の一般解

2自由度の強制振動って特解だけ見てたけど、一般解は見なくてもいいの？

苦手君

デルタ先生

実際の波形は一般解の形になるから、一般解の形を見ておくべきだけど、共振とか反共振点の議論をするだけだったら、特殊解だけで議論しても大丈夫なことが多いよ。

本記事では、2自由度の非減衰の強制振動の一般解の波形について解説します。

前回は強制振動の特解を求めて、その波形について解説しました。

今回はさらにリアルな振動として、一般解がどのようになっているのか、グラフからイメージできるようになりましょう。

本記事をおススメする人

2自由度の強制振動を理解したい人
物理を勉強していて興味がある人、仕事で振動の知識を使う人

下記動画でも解説していますので、参考にしていただければと思います。

1 2自由度の非減衰強制振動
- 1.1 モデルと運動方程式
2 2自由度の非減衰強制振動の一般解
3 まとめ
4 参考文献

2自由度の非減衰強制振動

モデルと運動方程式

今回取り扱うモデルです。

運動方程式は下記のようになります。

$$m_1\ddot{x_1}+(k_1+k_2)x_1-k_2x_2=Fcosωt$$

$$m_2\ddot{x_2}-k_2x_1+k_2x_2=0$$

2自由度の非減衰強制振動の一般解

前回、解き方のところで解説しましたが、非斉次微分方程式が連立した式を解く必要があり、その一般解というのは、

一般解=斉次方程式の一般解+非斉次方程式の特解

という形で、 斉次方程式の一般解は自由振動のときの一般解になるのでした。

自由振動のケースは下記の過去記事を参考にしてください。

参考記事

自由振動の一般解の復習

自由振動の復習ですが、1次の固有振動モードにおける質点$m_1、m_2$の振幅をそれぞれ、$u_1\color{red}{^1}$、$u_2\color{red}{^1}$、

2次の固有振動モードにおける質点$m_1、m_2$の振幅をそれぞれ

$u_1\color{green}{^2}、u_2\color{green}{^2}$と置くと、自由振動の一般解は、

$$\left(\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}u_1\color{red}{^1}\\u_2\color{red}{^1}\end{array}\right)cosω\color{red}{_1}\color{black}t+B\left(\begin{array}{c}u_1\color{green}{^2}\\u_2\color{green}{^2}\end{array}\right)cosω\color{green}{_2}\color{black}t+C\left(\begin{array}{c}u_1\color{red}{^1}\\u_2\color{red}{^1}\end{array}\right)sinω\color{red}{_1}\color{black}t+D\left(\begin{array}{c}u_1\color{green}{^2}\\u_2\color{green}{^2}\end{array}\right)sinω\color{green}{_2}\color{black}t・・・①$$

この式の微分形と、位置と速度のt=0の初期条件$x_{10}、x_{20}、v_{10}、v_{20}$から係数の$A、B、C、D$を求めることができます（三角関数の$sin$の項はゼロになり、$cos$の項だけ残りますね）。

$u$に関する文字を簡単にするために、下記のように振幅比$A_1$と$A_2$を導入します。

$\color{red}{ω_1}$の時の$u_1、u_2$を$u_1\color{red}{^1}$、$u_2\color{red}{^1}$とし、$\frac{u_2\color{red}{^1}}{\color{black}{u_1}\color{red}{^1}}\color{black}=\color{red}{A_1}$、

$\color{green}{ω_2}$の時の$u_1、u_2$を$u_1\color{green}{^2}、u_2\color{green}{^2}$とし、$\frac{u_2\color{green}{^2}}{\color{black}{u_1}\color{green}{^2}}\color{black}=\color{green}{A_2}$とします。

そして、下記のように振幅の前の係数を置きなおします。

$$A'=Au_1\color{red}{^1}$$

$$B'=Bu_2\color{green}{^2}$$

$$C'=Cu_1\color{red}{^1}$$

$$D'=Du_2\color{green}{^2}$$

このように置くと、係数は下記のように求まります。

$$A'=\frac{-A_2x_{10}+x_{20}}{A_1-A_2}・・・②$$

$$B'=\frac{A_1x_{10}-x_{20}}{A_1-A_2}・・・③$$

$$C'=\frac{-A_2v_{10}+v_{20}}{(A_1-A_2)ω_1}・・・④$$

$$D'=\frac{A_1v_{10}-v_{20}}{(A_1-A_2)ω_2}・・・⑤$$