振動・波動の基礎⑨-2自由度系の非減衰自由振動具体的な振動と使い道

2自由度系では特殊解から2つのモードが出てくるってわかったけど、振幅ってどうなるの？

それじゃ、一般解からいくつかのパターンを具体的に見てみよう。

2自由度の非減衰自由振動の最終形、一般解の挙動について解説します。

前回までに、2自由度の運動方程式と、特殊解について解説していますので、運動方程式の導出について理解したい方はこちらを参考にしてください。

参考記事

振動・波動の基礎⑦　2自由度系の運動方程式

振動・波動の基礎⑧　2自由度の非減衰自由振動-固有振動モード

本記事をおススメする人

1自由度の質点系の振動について理解したけど、多自由度系の振動について理解できていない人
2自由度の振動のイメージはついたけど、さらに深堀して理解したい人
物理を勉強していて興味がある人、仕事で振動の知識を使う人

目次 -Contents-

2自由度系の非減衰自由振動

モデルと運動方程式を下記に示します。

今回は非減衰の自由振動を考えますので、$c_1=c_2=0$として、下記のように書き換えます。

運動方程式は下記ですね。

$$\left(\begin{array}{cc}m_1&0\\0&m_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\ddot{x_1}\\\ddot{x_2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}k_1+k_2&-k_2\\-k_2&k_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=0$$

見づらいので、係数を下記のように置き換えます。

$$M\ddot{X}+KX=0$$

$$M=\left(\begin{array}{cc}m_1&0\\0&m_2\end{array}\right)$$

$$K=\left(\begin{array}{cc}k_1+k_2&-k_2\\-k_2&k_2\end{array}\right)$$

$$X=\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)$$

ここまではこの過去記事で解説しています。

これを解くと2つの振動の仕方が出てくることがわかり、下記のように2つの固有振動モードが表れます。

これらの振動の仕方を固有振動モード、と呼び、 左側を1次の固有振動モード、右側を2次の固有振動モードと呼びます。

それぞれの質点の振動の振幅を$u_1$、$u_2$と置き、cos型の特殊解は、

$$x_1=u_1cosωt$$

$$x_2=u_2cosωt$$

sin型も同じ形の特殊解になり、各モードの振幅を$u_1^1$、$u_2^1$、$u_1^2$、$u_2^2$とすると、

$$\left(\begin{array}{c}x_1(t)\\x_2(t)\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}u_1\color{red}^1\\u_2\color{red}^1\end{array}\right)cosω\color{red}_1\color{black}t+B\left(\begin{array}{c}u_1\color{green}^2\\u_2\color{green}^2\end{array}\right)cosω\color{green}_2\color{black}t+C\left(\begin{array}{c}u_1\color{red}^1\\u_2\color{red}^1\end{array}\right)sinω\color{red}_1\color{black}t+D\left(\begin{array}{c}u_1\color{green}^2\\u_2\color{green}^2\end{array}\right)sinω\color{green}_2\color{black}t・・・①$$

ここまではこの過去記事を参考にしてください。

初期条件から振幅を計算

①式を解くわけですが、各振幅の前の係数4つが未知数になります。

A、B、C、Dですね。

ちなみに、運動方程式を解く過程で、$u_1\color{red}^1$、$u_2\color{red}^1$の比や、$u_1\color{green}^2$、$u_2\color{green}^2$の比は分かっていますので、片方が分かれば、自動的にもう片方もわかります。

未知数4つに対して、①式は2つの方程式なので、あと2つ方程式が必要です。

ということで、速度に関する式を生み出すために、変位の式を微分します。

$$\left(\begin{array}{c}\dot{x_1}(t)\\\dot{x_2}(t)\end{array}\right)=-Aω\color{red}_1\color{black}\left(\begin{array}{c}u_1\color{red}^1\\u_2\color{red}^1\end{array}\right)sinω\color{red}_1\color{black}t-Bω\color{green}_2\color{black}\left(\begin{array}{c}u_1\color{green}^2\\u_2\color{green}^2\end{array}\right)sinω\color{green}_2\color{black}t+Cω\color{red}_1\color{black}\left(\begin{array}{c}u_1\color{red}^1\\u_2\color{red}^1\end{array}\right)cosω\color{red}_1\color{black}t+Dω\color{green}_2\color{black}\left(\begin{array}{c}u_1\color{green}^2\\u_2\color{green}^2\end{array}\right)cosω\color{green}_2\color{black}t・・・②$$

ここで、初期条件t=0で、各質点の初期位置を$x_{10}$、$x_{20}$、各質点の初期位置を$v_{10}$、$v_{20}$とします。

t=0とすることで、①、②のsinの項は全て消えてくれますので、①式は

$$\left(\begin{array}{c}x_{10}\\x_{20}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}u_1\color{red}^1\\u_2\color{red}^1\end{array}\right)+B\left(\begin{array}{c}u_1\color{green}^2\\u_2\color{green}^2\end{array}\right)・・・③$$

②式は

$$\left(\begin{array}{c}v_{10}\\v_{20}\end{array}\right)=Cω\color{red}_1\color{black}\left(\begin{array}{c}u_1\color{red}^1\\u_2\color{red}^1\end{array}\right)+Dω\color{green}_2\color{black}\left(\begin{array}{c}u_1\color{green}^2\\u_2\color{green}^2\end{array}\right)・・・④$$

$u$に関する文字を簡単にするために、前回同様、下記のように振幅比$A_1$と$A_2$を使います。

$\color{red}ω_1$の時の$u_1$、$u_2$を$u_1\color{red}^1$、$u_2\color{red}^1$とし、$\frac{u_2\color{red}^1}{\color{black}u_1\color{red}^1}\color{black}=\color{red}A_1$、

$\color{green}ω_2$の時の$u_1$、$u_2$を$u_1\color{green}^2$、$u_2\color{green}^2$とし、$\frac{u_2\color{green}^2}{\color{black}u_1\color{green}^2}\color{black}=\color{green}A_2$とします。

$$\left(\begin{array}{c}x_{10}\\x_{20}\end{array}\right)=A’\left(\begin{array}{c}1\\A_1\end{array}\right)+B’\left(\begin{array}{c}1\\A_2\end{array}\right)・・・③’$$

$$\left(\begin{array}{c}v_{10}\\v_{20}\end{array}\right)=C’ω\color{red}_1\color{black}\left(\begin{array}{c}1\\A_1\end{array}\right)+D’ω\color{green}_2\color{black}\left(\begin{array}{c}1\\A_2\end{array}\right)・・・④’$$

各係数を、A’、B’、C’、D’と置いており、下記のようにしております。

$$A’=Au_1\color{red}^1$$

$$B’=Bu_2\color{green}^2$$

$$C’=Cu_1\color{red}^1$$

$$D’=Du_2\color{green}^2$$

ここまで来たら連立方程式の書き方の方がわかりやすいですね。

$$x_{10}=A’+B’・・・⑤$$

$$x_{20}=A’A_1+B’A_2・・・⑥$$

$$v_{10}=C’ω\color{red}_1\color{black}+D’ω\color{green}_2\color{black}・・・⑦$$

$$v_{20}=Cω\color{red}_1\color{black}A_1+Dω\color{green}_2\color{black}A_2・・・⑧$$

A’とB’については⑤と⑥式から、C’とD’については⑦と⑧から求まりますね。

連立方程式を解くと、下記のようになります。