材料力学・構造力学 単純梁の等分布荷重の曲げモーメント図

材料力学・構造力学 単純梁の等分布荷重 BMD(曲げモーメント図)とSFD(せん断力図)の描き方 大学物理
物理苦手君
単純梁にも分布荷重がかかっているんだけど、これも片持ち梁と同じ解き方なの?
デルタ先生
そうだよ。曲げモーメントを考える際に、積分をすることで求めることができるので解説するね。

本日は単純梁の等分布荷重の曲げモーメント図の書き方を解説します。

基本的には片持ち梁の場合とやり方は同じなので、是非、過去の記事も参考にしてくださいね。

下記の動画でも解説していますので、そちらも是非参考にしていただければと思います。

モデル

上図のように単純梁に等分布荷重がかかっている状態を考えてみましょう。

梁の長さを$l$、$w[N/mm]$の分布荷重が単位長さあたりにかかっているとします。

BMDの書き方のおさらい

BMD(曲げモーメント図)の書き方は過去の記事で解説していますので、そちらもぜひ参考にしていただければと思います。

BMDは下記の5ステップで描くことができます。

BMDの描き方
  1. 座標軸をとる
  2. 外力のつり合いの式を立てる
  3. 切り出して切り出した部分のせん断力を書く
  4. せん断力によるモーメントを書く
  5. 切り出して面に注目して、せん断力によるモーメントにつり合うように、曲げモーメントを書く

座標軸の取り方については、今回は下図のようにとって考えますので、2つ目のつり合いの式を考えるところからスタートしましょう。

つり合いの条件を考える

単純梁の力のつり合いを考える際、両端の支点からの反力を考える必要があります。

まずトータルの荷重は、分布荷重がwで梁の長さがlなので、wlと書くことができます。

この荷重とつりあうように反力が発生しますので、

$$wl=R_a+R_b$$

と書くことができます。

反力は下図のように設定しております。

次にモーメントのつり合いですが、左側の支点から考えると、

$$\int^l_0 w×xdx-R_bl=0$$

このように積分して外力によるモーメントを表すことができます。

積分計算すると、

$$\frac{1}{2}wl^2-R_bl=0$$

と表すことができ、

$$R_b=\frac{1}{2}wl$$

と反力$R_b$を求めることができます。

力のつり合いの式に代入すると、もう片方の反力$R_a$は

$$R_a=\frac{1}{2}wl$$

と求めることができます。

切り出してせん断力を求める

次のステップとして、梁の途中を切り出して、せん断応力を考えてみましょう。

上図のように、梁の途中で切断します。

この切り出した状態でも力のつり合いやモーメントのつり合いが成立しなければいけませんので、

まずは力のつりあいについて考えてみましょう。

切り出した座標位置はxなので、分布荷重から受ける力は$w×x$となりますね。

また、固定端には上向きに$\frac{1}{2}w×l$の力が反力として発生していますので、分布荷重と比較すると、梁中央で符号が反転しますね。

このままだと、力のつり合いが保たれない、ということで、切断面に下向きの力をかけて、つり合いを保つようにします。

下向きの力を正とすると、せん断力Qは

$$Q=\frac{1}{2}wl-wx=\frac{w}{2}(l-2x)$$

となります。

せん断力図を書くと下記のようになりますね。

せん断力によるモーメントを書く

せん断力が切断面に発生していますので、せん断力によるモーメントを書きましょう。

切断面の座標がxでせん断力がQなので、せん断力によるモーメントを$M_Q$とすると、

$$M_Q=Q×x=\frac{w}{2}x(l-2x)$$

となります。

切断した部分でのモーメントのつり合い

それでは最後のステップとして、切断部分でのモーメントのつり合いを考えていきましょう。

まずは切り出した部分で、とあるX座標を考え、分布荷重によるモーメントがどのようになるかを考えましょう。

力のつり合いを考えた場合と同じように、ここでも積分を使って考える必要があります。

微小領域dXを考えると、微小領域内での力は、

$$w×dX$$

と書くことができますので、この微小領域でのモーメントは

$$X×wdX$$

と書き表すことができます。

これを0〜xまで積分してあげると、分布荷重によるモーメントを求めることができて、

$$\int^x_0XwdX=\frac{w}{2}x^2$$

と表すことができます。

これで切り出した部分にかかっているモーメントは全て書き表すことができていて、せん断力によるモーメントと外力によるモーメントの2つですね。

これらがつりあうように曲げモーメントMを切断面に発生させる必要がありますので、モーメントのつり合いから

$$M=\frac{w}{2}x^2+\frac{w}{2}x(l-2x)$$

式を整理すると

$$M=\frac{w}{2}x(l-x)$$

このように曲げモーメントがもとまり、曲げモーメント図を描くと、下図のようになります。

以上で単純梁に等分布荷重がかかったときのBMD(曲げモーメント図)を描くことができました。

まとめ

単純梁の等分布荷重がかかった場合の曲げモーメント図を求めました。

片持ち梁の時と同じように積分計算が出てきて、苦手な方は理解するのに苦労するかもしれませんが、

ここの積分計算は非常に大切な考え方ですので、自分の手を動かしながら、しっかりとマスターしていただければと思います。