材料力学 初心者向け 片持ち梁の分布荷重のBMDを導出

材料力学 片持ち梁の分布荷重 BMDの導出 大学物理
物理苦手君
なんか荷重が梁全体にかかっているんだけど、これってどうやって解くの?
デルタ先生
いわゆる分布荷重の問題だね。今日は片持ち梁の等分布荷重のBMDについて解説するね。

今回は等分布荷重についてです。

これまでは集中荷重の場合を解説してきましたが、分布荷重もよく見る例となりますので、しっかりと理解しておきましょう。

まずは曲げを語る上で欠かせない、曲げモーメント図(BMD)の書き方をやっていきましょう。

集中荷重の場合は下記の過去記事を参考にしていただければと思います。

モデル

上図のように片持ち梁全体に分布荷重が発生している場合を考えてみましょう。

梁の長さはl、荷重はw[N/mm]と単位長さあたりに発生している荷重を考えます。

BMDの書き方のおさらい

BMDの書き方は過去の記事でも詳細を解説していますので、そちらを参考にしていただければと思います。

BMDの書き方は下記の5ステップで描くことができるのでした。

BMDの描き方5ステップ
  1. 座標軸をとる
  2. 外力のつりあいの式を立てる
  3. 切り出して切り出した部分のせん断力を書き出す
  4. せん断力によるモーメントを書く

  5. 切り出した面に注目して、せん断力によるモーメントにつり合うように、曲げモーメントを書く

座標軸の取り方については、今回は下図のようにとって考えますので、2つ目のつり合いの式を考えるところからスタートしましょう。

つりあいの条件を考える

片持ち梁において、考えなければいけないつり合いの条件は、y方向の力のつり合いとモーメントのつり合いです。

x方向には力がかかっていないので、今回は無視します。

y方向のつり合い

y方向のつり合いですが、単位長さあたりにwの荷重がかかっているので、長さlの梁にはwlの力がかかっていることになります。

外力はこの分布荷重のみで、この外力だけだと梁は力のつり合いが保たれておらず、静止できていないことになります。

そこで、片持ち梁の場合、固定端からの反力を考えることで、力のつり合いを保つことができるのでした。

梁の支持の仕方によって、反力やモーメントを発生させることができるかどうかは決まっておりますので、下表をしっかりと頭に入れておきましょう。

今回は固定端の部分にwlの反力が発生して、力のつり合いを保っていることになりますね。

モーメントのつりあい

さて、分布荷重がかかっている時のモーメントはどのように表記されるでしょうか?

ここが1番のポイントです。

支点から見た時のモーメントを考えてみましょう。

モーメントは力×距離で表されますが、力の部分が梁全体にかかっている状態なわけです。

こういう場合は、とあるx座標の微小領域を見て、積分して全体を表す、ということを行います。

梁の幅は微小距離dxです。

この微小領域にかかっている力はw×dxとなりますね。

つまり、このとあるx座標での微小領域に発生しているモーメントはx×w×dxとなります。

あとはこの微小領域のモーメントを0〜lまで積分してあげると、等分布荷重によるモーメントがもとまりますね。

$$\int^l_0x×w×dx=\frac{1}{2}l^2w$$

このようになります。

さて、このモーメントだけであれば、梁は回転してしまうので、固定端につりあうようなモーメントを発生させなければいけません。

つまり、固定端には下図のようなモーメントが発生することになります。

切断してせん断応力を書く

次のステップとして、梁の途中を切り出し、せん断応力を考えてみましょう。

上図のように、とあるx座標で梁を切り出します。

この切り出した状態でも力のつり合いやモーメントのつり合いが成立しなければいけませんので、

まずは力のつりあいについて考えてみましょう。

切り出した座標位置はxなので、分布荷重から受ける力はw×xとなりますね。

また、固定端には上向きにw×lの力が反力として発生していますので、分布荷重と比較すると、反力の方が大きくなっていることがわかります。

このままだと、力のつり合いが保たれない、ということで、切断面に下向きの力をかけて、つり合いを保つようにします。

下向きのせん断力が正であるとすると、せん断力Qは、

$$Q=wl-wx=w(l-x)$$

となります。

この式を使ってSFD(せん断力図)を書くと、下記のようになりますね。

せん断力によるモーメントを書く

せん断力が切断面に発生していますので、せん断力によるモーメントを書きましょう。

切断面の座標がxでせん断力がQなので、せん断力によるモーメントを$M_Q$とすると、

$$M_Q=Q×x=w(l-x)x$$

となります。

切断した部分のモーメントのつり合い

最後のステップです。

切り出した部分のモーメントのつり合いを考え、BMDを描きましょう。

切り出した部分の中のとある座標Xを使って、分布荷重によるモーメントを考えます。

これは梁全体のモーメントを考えたときと同じやり方で、積分して求めることになります。

とあるX座標での微小領域dXを考えると、この微小領域での力は

$$w×dX$$

と表すことができますので、微小領域に発生するモーメントは距離Xをかけて、

$$X×w×dX$$

あとはこれを0〜xまで積分すれば分布荷重によるモーメントはもとまって、

$$\int^x_0XwdX=\frac{1}{2}x^2w$$

となります。

梁に発生しているモーメントは、分布荷重によるモーメント、固定端に発生しているモーメント、切断面に発生しているせん断力によるモーメントとなります。

これらが吊り合うように切断面に発生している曲げモーメントをMとすると、モーメントのつり合いから、

$$M=\frac{1}{2}x^2w-\frac{1}{2}l^2w+w(l-x)x$$

この式から曲げモーメントを求めましょう。

$$M=-\frac{w}{2}(l-x)^2$$

曲げモーメント図を書くと、下図のようになります。

以上から等分布荷重の場合、BMDは2次関数となります。

まとめ

本日は片持ち梁に等分布荷重が発生している場合を解説しました。

分布荷重を考える場合は、積分をする必要がありますが、とある微小領域を考えて、積分するイメージをしっかりと理解しておきましょう。