材料力学 これで脱暗記!梁のたわみの式を導出する-片持ち梁編

材料力学 たわみの式を導出 これで脱暗記 片持ち梁編 大学物理
物理苦手君
梁のたわみの式って覚えないといけないの?
デルタ先生
BMDと曲げモーメントの式から導出できるし、ググったら公式は出てくるから、丸暗記はあまりオススメできないね。

ということで、今日は、梁のたわみの式を曲げモーメントの式から導出します。

曲げモーメントの式から導出するやり方を理解することで、色んな梁のたわみの計算に対応できるようになりますので、しっかり理解しておきましょう。

今回は片持ちはりを例にとって解説して行きます。

途中、微分方程式を解く部分がありますが、初心者でもわかるように解説しますので、ご安心ください。

微分方程式については過去に解説していますので、そちらも是非参考にしていただければと思います。

動画でも解説していますので、下記を是非ご覧ください。

モデルとBMD、曲げモーメントの式

まず復習としてBMD、曲げモーメントの式についておさらいしましょう。

BMD(曲げモーメント図)

梁の曲げについて解説して行きますので、基本的な内容として、BMDを理解しておく必要があります。

過去の記事で解説していますので、詳細はそちらを参考にしてもらうとして、

BMDは梁にかかっている曲げモーメントの分布を示しているものでした。

片持ちはりの場合は、下記のように直線的に変化しますね。

この曲げモーメントが大きな点で大きな曲げ応力が発生するので、曲げ変形が起こった時に、どこから壊れるかが分かるわけです。

曲げモーメントの式

曲げモーメントの式は曲率半径を用いると下記のように表されます。

$$M(x)=\frac{EI}{ρ}$$

Eはヤング率、Iは断面二次モーメント、ρは曲率半径を示します。

ここで曲率半径ρが下記のような関係にあることを使います。

$$\frac{1}{ρ}=\frac{d^2y}{dx^2}$$

これを使うと、曲げモーメントの式は、下記のような微分方程式となります。

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{M(x)}{EI}$$

こちらも過去の記事で解説していますので、そちらを参考にしていただければと思います。

曲げモーメントの式を解く

さて、片持ち梁のBMDから、曲げモーメントはxの関数として下記のように表されます。

$$M(x)=-P(l-x)$$

この式を曲げモーメントの式へ代入してみましょう。

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{-P(l-x)}{EI}$$

これは2階非同次線形微分方程式と呼ばれるものですが、解き方は非常にシンプルです。

積分型と呼ばれる解き方となり、解き方は

  1. 両辺をxについて2回積分することで求める
  2. 積分定数を初期条件・境界条件から求める

となります。

それでは両辺を積分するところからやっていきましょう。

両辺を積分する

まず1回目の積分をしてみましょう。

$$\int\frac{d^2y}{dx^2}dx=\int\frac{-P(l-x)}{EI}dx$$

この積分を計算するわけですが、左辺は、

$$\int\frac{d^2y}{dx^2}dx=\frac{dy}{dx}+A_1$$

$A_1$は積分定数です。

次に右辺を計算すると、

$$\int\frac{-P(l-x)}{EI}dx=\frac{-Pl}{EI}x+\frac{P}{2EI}x^2+A_2$$

$A_2$も積分定数です。

積分定数をAとしてまとめると、曲げモーメントの式を1回積分した式は、

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-Pl}{EI}x+\frac{P}{2EI}x^2+A$$

このようになります。

何とも複雑と感じたかもしれませんが、このまま行きます。

次に2回目の積分を実施してみましょう。

$$\int\frac{dy}{dx}dx=\int\left(\frac{-Pl}{EI}x+\frac{P}{2EI}x^2+A\right)dx$$

同様に左辺の積分を実行してみると

$$\int\frac{dy}{dx}dx=y+B_1$$

$B_1$は積分定数です。

右辺の計算については、

$$\int\left(\frac{-Pl}{EI}x+\frac{P}{2EI}x^2+A\right)dx=\frac{-Pl}{2EI}x^2+\frac{P}{6EI}x^3+Ax+B_2$$

$B_2$も積分定数です。これらをまとめると、

$$y=\frac{-Pl}{2EI}x^2+\frac{P}{6EI}x^3+Ax+B$$

このようにyの式がもとまりましたので、未知の定数であるAとBについて求めに行きましょう。

境界条件

片持ち梁の境界条件ですが、上記のように座標軸をとると、下記のようになります。

$$θ(0)=0, y(0)=0$$

θはたわみ角で、梁の曲がり具合を示します。

梁の一部を円弧で近似し、円に接線を引いた時、その接線とx軸がなす角をたわみ角と呼びます。

この辺りは過去の記事でも解説していますので、参考にしていただければと思います。

さて、ふたつの境界条件が何を意味しているかというと、片持ち梁の固定端では曲がりもしないし、動きもしない、ということを示しています。

片持ち梁の固定端が完全固定になっているので、このような境界条件になるわけです。

これらの条件を使って、たわみの式に出てきた積分定数を計算してみましょう。

積分定数を求める(たわみ角について)

境界条件の一つ目、θですが、これはとある近似を用いることで、先ほどのたわみの式へ適応させることができます。

結論的には下記のような関係式を使います。

$$\frac{dy}{dx}=tanθ≒θ$$

たわみ角は上図のように、接線とx軸のなす角なので、接線の傾きはtanθとなります。

一方、この傾きは$\frac{dy}{dx}$と表すこともできるので、

$$\frac{dy}{dx}=tanθ$$

と表すことができます。

ここまできて、ある近似を用いるのですが、

それは材料力学であったり、構造力学の前提ともなっているθ<<1という条件を用います。

たわみ角θが非常に小さい、すなわち微小なたわみ量を考えた時、tanθ≒θとなります。

よって、先ほど述べた式が成り立つわけですね。

$$\frac{dy}{dx}=tanθ≒θ$$

積分定数を求める

それでは、yをxで1回微分したものがθである、という関係式と境界条件を用いて積分定数を求めて行きましょう。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-Pl}{EI}x+\frac{P}{2EI}x^2+A$$

この式が境界条件によりゼロとならなければいけませんので、

$$θ(0)=A=0$$

となります。

同様にもう一つの境界条件を用いてBを求めます。

yの式は下記のようになっておりました。

$$y=\frac{-Pl}{2EI}x^2+\frac{P}{6EI}x^3+Ax+B$$

ここに境界条件であるy(0)=0と先ほど求めたA=0を入れると、

$$y(0)=B=0$$

となります。

よって、yの式は下記のようになります。

$$y(x)=\frac{-Pl}{2EI}x^2+\frac{P}{6EI}x^3$$

ここで、最大たわみ量δはx=lの時ですので、

$$δ=\frac{-Pl^3}{3EI}$$

となります。

このように微分方程式を解くことで、たわみの式を導出することができます。

まとめ

曲げモーメントの式からたわみの式を導出しました。

今回は片持ちはりを用いて説明しましたが、他の梁でも基本的には同様ですので、m

まずはこの流れをしっかりと理解しておきましょう。