振動・波動の複素解法 ①古典的な調和振動子

振動・波動の複素解法① 古典的な調和振動子、単振動 学問・技術
物理苦手君
教科書読んでたら、振動の運動方程式に複素数が出てきたんだけど…
はなたか
複素数を使うのは、計算が楽になるからなんだ。そもそも複素数も三角関数とよく似た部分があるので、まずは複素数の扱い方を、簡単な例で理解してみようね。

本記事では複素数を使った、運動方程式の解法について説明します。

まずは一番簡単な調和振動子で、その扱い方に慣れていきましょう。

そもそも調和振動や単振動って何?という方は過去の記事を参考にしてくださいね。

本記事をおススメする人
  • 複素数を使った解法が理解できていない人
  • 物理を勉強していて興味がある人、仕事で振動の知識を使う人

調和振動子の復習

モデルと運動方程式

下記の図のような状態が調和振動子(単振動)のですね。

※物体と床の摩擦などは無視しています

$$F=k×x$$

$$F = 力、k = バネ定数、x = バネの縮み量、もしくはバネの伸び量$$

 

運動方程式は

$$m\ddot{x}=-kx$$

この微分方程式を解くと、変位の式は、

$$x = Asin(ωt+Φ)$$

$$x = 物体の位置、A = 振幅、ω = 角振動数、Φ = 初期位相$$

結論として三角関数で示される、ということです。

複素数を用いた解法

では、複素数を使った解法に移ります。

単振動の運動方程式は、線形微分方程式であり、解き方として、特殊解を$Ax=e^{λt}$と置くパターンで解きます。

ここで、Aは実数ではなく、複素数もOKである複素解であることに注意してください。

このように置くと、運動方程式は、

$$mAλ^2e^{λt}=-kAe^{λt}$$

$Ae^λt$を両辺から消去して、整理すると、

$$mλ^2+k=0$$

ここで両辺mで割って、$ω=\sqrt{\frac{k}{m}}$と置くと、

$$λ^2+ω^2=0$$

この式を特性方程式と呼びます。

さて、この特性方程式を満たすようなλは、どのような値になるでしょうか?

2乗して負の値にならなければいけませんので、複素数iを使用する必要があり、iを用いて解を表すと、

$$λ=±iω$$

λは+と-で2つ存在します。

それぞれ特殊解$x=Ae^{λt}$に代入すると、

$$x_1=A_1e^{iωt}、x_2=A_2e^{-iωt}$$

線形微分方程式の一般解は、これら特殊解の線形結合で表されるので、一般解は、

$$x=A_1e^{iωt}+A_2e^{-iωt}・・・①$$

となります。

三角関数への変形

一般解は求まりましたが、これは複素数を含むので、複素解と呼ばれます。

よく見る一般解の形にするために、オイラーの公式を使って三角関数へ変形します。

オイラーの公式は下記です。

$$e^{iθ}= cosθ+isinθ$$

この公式を用いると、一般解は、

$$x=A_1(cosωt+isinωt)+A_2(cosωt-isinωt)$$

実部と虚部で分けて整理しますと、

$$x=(A_1+A_2)cosωt+i(A_1-A_2)sinωt$$

この式の係数$A_1+A_2$と$i(A_1-A_2)$をそれぞれC、Dと置き、C、Dが実数になるように$A_1$と$A_2$を設定します。

つまり

$$x=Ccosωt+Dsinωt$$
$$C=A_1+A_2、D=i(A_1-A_2)$$

$A_1$と$A_2$は複素数なので、$A_1=x_1+iy_1、A_2=x_2+iy_2$とすると

$$A_1+A_2=x_1+iy_1+x_2+iy_2=x_1+x_2+i(y_1+y_2)・・・②$$
$$i(A_1-A_2)=ix_1-y_1-ix_2+y_2=i(x_1-x_2)-y_1+y_2・・・③$$

②、③が実数になる条件は、$y_1=-y_2$、$x_1=x_2$となり、$A_1$とA_2$が複素共役の場合、C、Dは実数になりますね。

あとは$x=Ccosωt+Dsinωt$に対して、三角関数の合成公式を使用すると、

$$x=Xsin(ωt+Φ)$$

となり、複素数を用いても、三角関数の形の一般解となります。

なぜ複素数解法か?

物理苦手君
いや、絶対に三角関数で解いた方が楽ですよ。
はなたか
まぁ単振動の場合は三角関数で解いた方がスマートかもしれないね。でも減衰があったり、強制振動とか外力がある場合、複素数を使った方が、計算が楽になることが多いんだ。

今回は、単振動の式を無理やり複素数を用いて解いたので、少し複雑に感じたかもしれません。

しかし、 減衰があったり、強制振動の場合は複素数を用いた方が計算が少なくなりますので、複素数を用いる場合も多いです。

最終的に解が求まればよいので、三角関数でゴリゴリ計算できる方は不要かもしれませんが、計算ミスを嫌う方や、計算量を減らしたい方は便利な道具だと思って、複素数もマスターしておきましょう。

複素数の実部をとるイメージ

最後に、複素数の実部をとることで、振動の波形になることイメージしましょう。

下記のグラフはオイラーの公式で$e^{iωt}=cosωt+isinωt$としたときの、複素平面状の軌道と実部の動きを示しています。

横軸が実部(Re)、縦軸が虚部(Im)です。

実部をとると$cosωt$で振動しているので、あとは初期位相と振幅次第で調和振動子の動きを再現できますね。

まとめ

本日は、複素数を用いて振動の運動方程式を解く、ということで、最も簡単な例である単振動の複素解法について解説しました。

今回は三角関数だけで解いた方が早いですが、次回以降、減衰を含む振動や強制振動での複素解法を紹介しますので、そこで有用性をしっかり理解していただければと思います。