振動・波動の複素解法 ①古典的な調和振動子の運動方程式

[voice icon="https://deltapower.site/wp-content/uploads/2020/04/男性悩み.png" name="物理苦手君" type="l"]教科書読んでたら、振動の運動方程式に複素数が出てきたんだけど…[/voice]

[voice icon="https://deltapower.site/wp-content/uploads/2020/09/にっこり右側.jpg" name="デルタ先生" type="r"]複素数を使うのは、計算が楽になるからなんだ。そもそも複素数も三角関数とよく似た部分があるので、まずは複素数の扱い方を、簡単な例で理解してみようね。[/voice]

本記事では複素数を使った、運動方程式の解法について説明します。

まずは一番簡単な調和振動子で、その扱い方に慣れていきましょう。

そもそも調和振動や単振動って何？という方は過去の記事を参考にしてくださいね。

[box class="blue_box" title="参考記事"]

振動・波動の基礎①-古典的な調和振動子（単振動）

[/box]

[box class="green_box" title="本記事をおススメする人"]

複素数を使った解法が理解できていない人
物理を勉強していて興味がある人、仕事で振動の知識を使う人

[/box]

動画でも解説していますので参考にしてください。

1 調和振動子の復習
2 なぜ複素数解法か？
- 2.1 複素数の実部をとるイメージ
3 まとめ

調和振動子の復習

モデルと運動方程式

下記の図のような状態が調和振動子（単振動）のですね。

※物体と床の摩擦などは無視しています

$$F=k×x$$

$$F = 力、k = バネ定数、x = バネの縮み量、もしくはバネの伸び量$$

運動方程式は

$$m\ddot{x}=-kx$$

この微分方程式を解くと、変位の式は、

$$x = Asin(ωt+Φ)$$

$$x = 物体の位置、A = 振幅、ω = 角振動数、Φ = 初期位相$$

結論として三角関数で示される、ということです。

複素数を用いた解法

では、複素数を使った解法に移ります。

単振動の運動方程式は、線形微分方程式であり、解き方として、特殊解を$x=Ae^{λt}$と置くパターンで解きます。

ここで、Aは実数ではなく、複素数もOKである複素解であることに注意してください。

このように置くと、運動方程式は、

$$mAλ^2e^{λt}=-kAe^{λt}$$

$Ae^λt$を両辺から消去して、整理すると、

$$mλ^2+k=0$$

ここで両辺mで割って、$ω=\sqrt{\frac{k}{m}}$と置くと、

$$λ^2+ω^2=0$$

この式を特性方程式と呼びます。

さて、この特性方程式を満たすようなλは、どのような値になるでしょうか？

2乗して負の値にならなければいけませんので、複素数iを使用する必要があり、iを用いて解を表すと、

$$λ=±iω$$

λは＋と－で2つ存在します。

それぞれ特殊解$x=Ae^{λt}$に代入すると、

$$x_1=A_1e^{iωt}、x_2=A_2e^{-iωt}$$

線形微分方程式の一般解は、これら特殊解の線形結合で表されるので、一般解は、

$$x=A_1e^{iωt}+A_2e^{-iωt}・・・①$$

となります。

三角関数への変形

一般解は求まりましたが、これは複素数を含むので、複素解と呼ばれます。

よく見る一般解の形にするために、オイラーの公式を使って三角関数へ変形します。

オイラーの公式は下記です。

$$e^{iθ}= cosθ+isinθ$$

この公式を用いると、一般解は、

$$x=A_1(cosωt+isinωt)+A_2(cosωt-isinωt)$$

実部と虚部で分けて整理しますと、

$$x=(A_1+A_2)cosωt+i(A_1-A_2)sinωt$$

$A_1$と$A_2$は複素数なので、$A_1=a_1+ib_1、A_2=a_2+ib_2$とすると、

$$x=(a_1+a_2)cosωt-(b_1-b_2)sinωt+i\{(a_1-a_2)cosωt+(b_1+b_2)sinωt)\}$$

ここから、振動の状態を示す一般解を表すには、

実部、もしくは虚部の片方に注目する
実数になるように$A_1$、$A_2$を設定する

それではそれぞれの解法について解説しますね。

実部、虚部の片方に注目する

$$x=(a_1+a_2)cosωt-(b_1-b_2)sinωt+i\{(a_1-a_2)cosωt+(b_1+b_2)sinωt)\}$$

この式の実部、虚部の計算を行います。

まず実部を計算すると、

$$x=(a_1+a_2)cosωt-(b_1-b_2)sinωt$$

係数を下記のように置きます。

$$B_1=a_1+a_2、B_2=b_1-b_2$$

実部は下記のようになって、

$$x=B_1cosωt-B_2sinωt$$

三角関数の合成を行うと、

$$x=\sqrt{B_1^2+B_2^2}sin(ωt+φ_B)$$

ルートを$B_0$とおいて、

$$x=B_0sin(ωt+φ_B)$$

このように、単振動の一般解が導出されます。

一方、虚部も同様で、

$$x=(a_1-a_2)cosωt+(b_1+b_2)sinωt$$

係数を下記のように置きます。

$$C_1=a_1-a_2、C_2=b_1+b_2$$

実部は下記のようになって、

$$x=C_1cosωt+C_2sinωt$$

三角関数の合成を行うと、

$$x=\sqrt{C_1^2+C_2^2}sin(ωt+φ_C)$$

ルートを$C_0$とおいて、

$$x=C_0sin(ωt+φ_C)$$

こちらも単振動の一般解の形になりますね。

実数になるように$A_1,A_2$を決める

$$x=(A_1+A_2)cosωt+i(A_1-A_2)sinωt$$

この式の係数$A_1+A_2$と$i(A_1-A_2)$をそれぞれC、Dと置き、C、Dが実数になるように$A_1$と$A_2$を設定します。

つまり

$$x=Ccosωt+Dsinωt$$

$$C=A_1+A_2、D=i(A_1-A_2)$$

$A_1$と$A_2$は複素数なので、$A_1=a_1+ib_1、A_2=a_2+ib_2$とすると

$$A_1+A_2=a_1+ib_1+a_2+ib_2=a_1+a_2+i(b_1+b_2)・・・②$$

$$i(A_1-A_2)=ia_1-b_1-ia_2+b_2=i(a_1-a_2)-b_1+b_2・・・③$$

②、③が実数になる条件は、$b_1=-b_2$、$a_1=a_2$となり、$A_1$と$A_2$が複素共役の場合、C、Dは実数になりますね。

あとは$x=Ccosωt+Dsinωt$に対して、三角関数の合成公式を使用すると、

$$x=Xsin(ωt+Φ)$$

となり、複素数を用いても、三角関数の形の一般解となります。

なぜ複素数解法か？

[voice icon="https://deltapower.site/wp-content/uploads/2020/04/男性悩み.png" name="物理苦手君" type="l"]いや、絶対に三角関数で解いた方が楽ですよ。[/voice]

[voice icon="https://deltapower.site/wp-content/uploads/2020/09/にっこり右側.jpg" name="デルタ先生" type="r"]まぁ単振動の場合は三角関数で解いた方がスマートかもしれないね。でも減衰があったり、強制振動とか外力がある場合、複素数を使った方が、計算が楽になることが多いんだ。

[/voice]

今回は、単振動の式を無理やり複素数を用いて解いたので、少し複雑に感じたかもしれません。

しかし、 減衰があったり、強制振動の場合は複素数を用いた方が計算が少なくなりますので、複素数を用いる場合も多いです。

最終的に解が求まればよいので、三角関数でゴリゴリ計算できる方は不要かもしれませんが、計算ミスを嫌う方や、計算量を減らしたい方は便利な道具だと思って、複素数もマスターしておきましょう。