今回から、ベルヌーイの定理を用いた演習問題を何回かにわけてやっていこうと思います。
ベルヌーイの定理は大学のテストとかでも出しやすい内容が多いので、問題も豊富にあります。
代表的な問題を厳選して、問題を解いていきますので、自分で解けるように手を動かしていきましょう。
今回は管路内の圧力についての演習問題です。
とてつもなくベーシックな問題なので、例題とかでよく使われるものもありますが、まずはここから!ということで頑張っていきましょう。
断面積が変化する直管路

図のような断面が緩やかに小さくなっていく管路を考えます。
流れている流体の密度をρとし、取り付けられているマノメーターの高さの差を\(h\)とします。
断面を①、②を設定したとき、それぞれの流速を\(v_1、v_2\)として、断面にかかる圧力の差\(p_1-p_2\)を求めます。
それではまず圧力差からです。
ベルヌーイの定理を考えると、高さは2つの観測点で同じなので、圧力と運動エネルギーを考えれば良くて、
\[p_1+\frac{1}{2}ρv_1^2=p_2+\frac{1}{2}ρv_2^2\]
となり、式変形すると、
\[p_1-p_2=\frac{1}{2}ρv_2^2-\frac{1}{2}ρv_1^2\]
と、圧力差が出てきます。
ということで、この2点の流速を測定してしまえば圧力差が求まることになります。
なのですが、せっかくマノメーターが取り付けられているので、これを使って圧力差を考えましょう。

圧力差は
\[p_1-p_2=ρgh\]
となりますね。すごく簡単。
もう少し深掘りして流速を求めると、断面の面積を\(A_1、A_2\)として、理想流体の連続の式から、
\[A_1v_1=A_2v_2\]
と書けます。式変形して、
\[v_2=\frac{A_1}{A_2}v_1\]
となり、ベルヌーイの式、マノメーターの高さとの関係式からもとまった式に代入すると、
\[p_1-p_2=ρgh=\frac{1}{2}ρ(\frac{A_1}{A_2}v_1)^2-\frac{1}{2}ρv_1^2\]
少し整理しましょう。
\[2gh=((\frac{A_1}{A_2})^2-1)v_1^2\]
\[v_1=\sqrt{\frac{2gh}{(\frac{A_1}{A_2})^2-1}}\]
となります。
流管の断面積がわかっていれば、流速もわかることになります。
斜めに傾いた断面積が変化する管路

さて、次は斜めに流管を傾けましょう。
この流管も下図のように断面が変化しています。
また、先ほどは、マノメーターが上側についていましたが、下側にU字型マノメーターが取り付けられているとします。
このU字マノメーターの左右の液面高さの差を\(h\)、マノメーター中の液体の密度を\(ρ_m\)として、\(v_1\)の式を求めましょう。
では、まず管路の各点\(s_1、s_2\)でのベルヌーイの式を考えます。
\(z\)軸をゼロがマノメーターの右側の液面に来るように取って、断面の中心座標を\(z_1、z_2\)とすると、
\[p_1+\frac{1}{2}ρv_1^2+ρgz_1=p_2+\frac{1}{2}ρv_2^2+ρgz_2\]
先ほどの水平の場合と比べて、位置エネルギーの項が加わりましたね。
さらにマノメーターにかかる圧力を考えていきましょう。
図の赤いライン部分の圧力を考えます。
U字型マノメーターの左側、右側の圧力をそれぞれ\(p_l、p_r\)とすると、
\[p_l=p_1+ρg(z_1-h)+ρ_mgh\]
\[p_r=p_2+ρgz_2\]
左側の管と右側の管の断面積は同じとして、単位面積あたりの力のつり合いを考えると、\(p_l=p_r\)となるので、
\[p_1+ρg(z_1-h)+ρ_mgh=p_2+ρgz_2\]
という式が成り立ちます。
よって差圧\(p_2-p_1\)を考えると
\[p_2-p_1=ρg(z_1-z_2)+(ρ_m-ρ)gh\]
となります。
ベルヌーイの式を変形して、この差圧を代入できるようにしましょう。
\[p_2-p_1=\frac{1}{2}ρ(v_1^2-v_2^2)+ρg(z_1-z_2)\]
マノメーターから求めた差圧を代入して、
\[ρg(z_1-z_2)+(ρ_m-ρ)gh=\frac{1}{2}ρ(v_1^2-v_2^2)+ρg(z_1-z_2)\]
この式をよく見てみると、両辺の\(ρg(z_1-z_2)\)は消去できるので、式を整理すると、
\[(ρ_m-ρ)gh=\frac{1}{2}ρ(v_1^2-v_2^2)\]
あとは水平の流管の時と同じく、連続の式を使って\(v_2\)を消去し、\(v_1\)を求めます。
\[\frac{(ρ_m-ρ)gh}{ρ}=((\frac{A_1}{A_2})^2-1)v_1^2\]
これを式変形すると、
\[v_1=\sqrt{\frac{(ρ_m-ρ)gh}{ρ\frac{A_1}{A_2})^2-1)}}\]
となります。
ホースを踏んだとき

よくあるケースとして、ホースを踏んだときの状態にベルヌーイの定理を適応させ、それぞれのエネルギーがどのようになるかを考えましょう。
連続の式は
\[A_1v_1=A_2v_2\]
と書け、ベルヌーイの式は
\[p_1+\frac{1}{2}ρv_1^2=p_2+\frac{1}{2}ρv_2^2\]
となります。
これは水平に置いた流管と同じ式になります。
さて、よくある解釈として、断面積が狭くなった部分は連続の式によって、速度\(v_2\)が増えることになります。
一方、ベルヌーイの式を満たす必要もあり、\(v_2\)が増えたことにより、圧力\(p_2\)が下がる、ということが式的には起こります。
え、ホント?ホースをつまんだところってすごい圧力かかる気がするんだけど…


そうだね。これは直感と反する結果になっているんだけど、ベルヌーイの式は流体を理想流体として見ているから現実とは違う結果になることもあるんだ。
このあたりは他のサイトとかでも、ホース ベルヌーイで検索したらいろいろ出てきます。
実際に実験している方も多くいらっしゃいます。
理想流体を仮定しているということは、粘性や圧縮性を無視していることになるのですが、
これらを無視している影響は大きいです。
端的に言うと、粘性の影響でつまんだ部分は流れにくくなり、ホース内の圧力が上がり、勢いよく水が出てくることになります。
連続の式やベルヌーイの式は便利な式ではありますが、なんでもかんでも現実に即した結果が出てくるというわけではない、ということをしっかりと頭の中に入れておいてくださいね。
まとめ

ベルヌーイの定理の演習として流管について取り扱いました。
連続の式、ベルヌーイの式、マノメーターなどによる圧力の求め方がポイントになりますので、しっかりと理解しておきましょう。